OF . OF

Ou Oç

lesquelles le jacobien n'est pas nul; u^j u^, ,,,,u% désignant les valeurs correspondantes de Ui, u^y . . ., Uny il existe, d'après le théorème général, un système de fonctions

•a?i = ^l(«Ii . . ., M/l). a7j — il8(ai, . . ., w«), ...,

qui satisfont aux relations (i3) et qui prennent les valeurs x^j x^, ,,.fX% pour W|=aJ, ..., Un= u%* Ce sont les fonctions inverses des fonctions (pt, O}, ..., On] Isi détermination effective de ces fonctions s'appelle une inversion.

Pour calculer les dérivées des fonctions inverses, il suffit d'appliquer les règles générales. Ainsi, dans le cas de deux fonctions

si Ton considère inversement u et v comme les variables indépendantes, X et^ comme les fonctions, on a les deux relations

du = -^ dx-h ~- dy, dx ày ^

dv — ~r^ dx + - - dy.

dx ày -^

ào j àf , ào . àf j - ' du r- dv -^ du-h ^ dv

d'où l'on tire

dj, = ^r ày ùx àx

'df ào df dt^ ' -^ àf dr^ __df d©

dx ày ày dx dx ày dy dx

On a donc les formules

do dv

dx Ov

àf

ày

Of do df do '

df do df do

dx dy dy dx

àf

ày

du '

~ àf d^ àf do '

~~ df do df do

dx dy dy dx

27. Tangente à une courbe gauche. — Considérons une courbe C représentée par un système de deux équations

soient a?o,yoî ^o les coordonnées d'un point Mo de cette courbe,

tel que l'un au moins des trois jacobiens

OFj^ (>F, c^Fi c^F, ()¥\ dVj __ 0V\ âb\ 0F\ dVt r)F, dF^ Ojr Oz dz dy Oz Ox Oj- dz du; dy oy dx

Supposons, pour fixer les idées, que -.v,-; — ^ ne soit pas nul

pour les coordonnées du point Mo', des équations (i/j) on peut alors tirer

ç> et A étant des fonctions continues de x se réduisant respectivement à^o et ^0 pour ^ = ^0- La tangente à la courbe G au point M© est alors représentée par les deux équations

((uant aux dérivées f'(x) et 'V (.r), elles se calculent au moyen des deux relations

dx Oy ' ^ ' dz ' ^ '

Faisons dans ces relations x == Xq, y =^j'o? ^ = -So el.rempla-

çons ^'{xq) et 'y(:ro) par :^ — - et J^"*^ respectivement; les

équations de la tangente peuvent encore s'écrire

X — .To Y — r„ Z — Co

L'interprétation géométrique du résultat est bien facile. Les équations (i4) représentent respectivement deux surfaces S, et So, dont la courbe G est l'intersection; les équations (i5) représentent les deux plans tangents à ces deux surfaces au