II. — DETERMINANTS FONCTIONNELS

28. Propriété fondamentale. — Nous venons de voir le rôle important que joue le déterminant fonctionnel dans la théorie des fonctions implicites. Toutes les démonstrations supposent expressément qu^un certain jacobien n'est pas nul identiquement. Si ce jacobien est nul identiquement, il se présente des circonstances toutes différentes, comme il suit du théorème fondamental suivant :

Soient M,, //o? • • • - ''//? ^ /onctions des n variables indépendantes jTï, X2j . . . , -O/. Pour qu^il existe entre ces n fonctions une relation l\{u\^ u^ ••., Un) = o, ne renfermant pas les variables Xt, x^, • • • , x,i, il faut et il suffit que le déterminant

fonctionnel fr^— — " — — r soit nul identiquement.

D'abord, cette condition est nécessaire. En effet, s'il existe entre les/i fonctions Ut , u.i, . . . , W/i, une relation n(w,, Ui^ . . . , ?/«)= o, OD en déduit, en difierentiant par rapport à chacune des variables Xi >uccessiveroent, les-7i équations

'>rT dui du dru âW du,,

ÔU\ ()xi âuz Oxi ' ' ' Ou,i âxi

OU àu^ OU Ouy, OU Oun

OUx OXff, OUo OXn ' ' ' Ou,, Ot,i

comme on ne peut avoir à la fois

OU __ OU^ «^ii Oux Ou2 ' ' Ou,i '

6o CHAPITRE II. — FONCTIONS IMPLICITES, ETC.

puisque la relation considérée se réduirait à une identité, il faut

bien que le déterminant formé par les coefficients de -— > • • • > 3 — ' *^ àui ou„

soit nul.

La condition est aussi suffisante. Pour établir ce point, nous nous appuierons sur quelques remarques qui résultent immédiatement des théorèmes généraux :

1° Soient w, i', sv trois fonctions des trois variables indépendantes X, r, -G, telles que le déterminant tt—^ — ^ ne soit pas nul.

On ne peut avoir entre les différentielles totales du, dvj dw aucune

relation de la forme

\ du -{- \i dv -^ ^ dw = o,

à moins que l'on n'ait à la fois X = |jl = v r::^ o. En effet, en égalant à zéro les coefficients de dx, dy^ dz dans la relation précédente, on a trois équations qui n'admettent pas d'autre solution en )v, |JL, V que X = jx = v = o.

2° Soient (1), Uj ^, iv quatre fonctions des trois variables indépendantes x^ y^ 5, telles que -r— —-'- — - ne soit pas nul. On peut

inversement exprimer x^ y^ z en fonction de w, ^, w, et en portant ces valeurs de x^y^ z dans w, on obtient une fonction

des trois variables w, r, w. Si, par un moyen quelconque, on a obtenu entre les différentielles totales rfo), rfw, dVy dw, prises par rapport aux variables indépendantes x, y, z, une relation de la forme

(i«) du) = P du-^ (> rA' -f- R dw,

les coefficients P, Q, R sont égaux respectivement aux déris^ées partielles de ^{u, v, (v),

Ou Ov Ow

On sait, en effet, d'après la règle qui donne la différentielle totale d'une fonction composée (n** 16), que l'on a bien

ati) = - - a a -+- - - rt i> -+- -■ — dw, ou Oif dw