II. — DETERMINANTS FONCTIONNELS

et îl ne peut pas exister entre rfco, dUy dv^ dw d'autre relation que la précédente de la forme (16), car on en déduirait une égalité de la forme

X (lu -h [idi' -r- V dw = 0,

où les coefficients X, |jl, v ne seraient pas tous nuls; ce qui est impossible, d'après la première remarque.

Il est clair que ces remarques s'étendent à un nombre quelconque de variables indépendantes.

Cela posé, considérons, pour fixer les idées, un système de quatre fonctions de quatre variables indépendantes

\^Fiix,jr, Z, t),

\ ^F^{x,y,z, t), Z ^ Fz{x,y, z, t), Tr=F4(a:,r, 5, 0;

le jacobien — j-4-' — - — '' * est, par hypothèse, identiquement nul,

et nous supposerons d'abord que l'un des mineurs du premier

ordre, —4^,^^ — - — ;- par exemple, «st différent de zéro. Des trois

premières équations (17) on peut imaginer que l'on tire les valeurs de j;, y^ z en fonction de X, Y, Z, t et, en portant ces expressions dans la dernière formule, on obtient pour T une fonction de X, Y, Z, t^

on va démontrer que cette fonction <^ ne contient pas la variable ^,

ou que Ton a identiquement-^ =0. Considérons pour cela le déterminant

dFx

dF^ dx

ày

dF, dz

dF^

^Fa

ày

dF^ dx

dFi,

ày

dF,, dz

si Ton remplace dans ce déterminant ^/X, e/Y, cfZ, cTT par leurs

(jl CHAPITRK II. — PONCTIONS IMPLICITES, ETC.

expressions

d\ - '--dx-t- - dy-r- , dz-h -} df, Ox ôy ^ ôz ai

puis qu'on développe par rapport à dx^ dy^ dz^ dt^ on vérifie que les coefficients de ces quatre difTérentielles sont nuls; les trois premiers sont des déterminants avant deux^ colonnes identiques, le coefficient de dt est le déterminant fonctionnel lui-même. On a donc A = o. D'autre part, si Ton développe ce déterminant par rapport aux éléments de la dernière colonne, le coefficient de rfT n'est pas nul et on a une relation de la forme

dT -.Pd\-^Qd\ RdTs.

D'après la remarque de tout à l'heure, le coefficient de dt, dans le second membre, est égal à -r- • Or, ce second membre ne renferme pas rf/ ; on a donc -j- = o, et la relation (i8) est de la fonne

ce qui démontre le théorème énoncé.

On peut remarquer qu'il n'existe pas, entre les quatre fonctions X, Y, Z, T, de relation indépendante de x^y^ z, /, qui soit distincte de la précédente. En eflet, s'il en existait une, en y remplaçant T par ^(X, Y, Z), on en déduirait une nouvelle relation de la forme n(X, Y, Z) = o, et l'on devrait avoir

contrairement à l'hypothèse.

Passons au cas où tous les mineurs du premier ordre du jacobien sont nuls identiquement, l'un au moins des mineurs du

deuxième ordre, -yr—- — ~ par exemple, n'étant pas nul. Des deux

premières relations (i-) on peut tirer x eVy en fonction de X, Y, -3, t^ et les deux dernières deviennent