COURBURE
vers B; le quotient . p est ce qu'on appelle la courbure moyenne
de l'arc AB. Lorsque le point B se rapproche indéfiniment du point A, ce quotient tend en général vers une limite qu'on appelle la courbure au point A. Le rayon de courbure est le rajon d'un
Fig. 4i.
JC
cercle qui aurait même courbure que la courbe donnée au point A, 51 est donc égal à l'inverse de la courbure. Soient s l'arc de la courbe compté à partii: d'un point fixe, a l'angle que fait la direction de la tangente avec une direction fixe, l'axe Ox par exemple. Il est clair que la courbure moyenne de l'arc AB est égale à la
valeur absolue du quotient —-; on a donc, pour valeur du rajon de courbure R,
Ax aa
Supposons l'équation de la courbe proposée résolue par rapport à^, soit j' z=f{^x)\ on a
CL = arc tangj^', di. = -^z^.i
ds = /i -hy'^ dxt
et par conséquent (17)
Le rayon de courbure étant une quantité essentiellement positive, le signe ±: indique qu'il faut prendre la valeur absolue. Imaginons que sur la normale à la courbe on porte, à partir du point A et dans le sens de la concavité de la courbe, une longueur
490 CHAPITRE X. — COURBBS PLANES.
égale au rayon de coiirljnre; le point I ainsi oblenu esl le centre de courbure^ et le cercle décrit du point I comme centre, avec un rayon égal à R, est le cercle de courbure. Soient {Xi^ y^) les coordonnées du centre de courbure; ces coordonnées satisfont aux deux relations
(x, - a?) -f- (^, —y)y = o, (xi — x)^-^{yi -^)« = ^^ — -i^ ,
qui expriment que ce point est sur la normale et à une dislance du point A égale à R. On tire de ces deux équations, en éliminant Xi,
pour savoir le signe que l'on doit prendre, remarquons que, si j" est positif, comme dans le cas de la y?^. 4'? J^i — y ^^it être positif, et il faut prendre le signe +. Si y^ était négatif, on verrait de même que yi — y est négatif, et il faut encore prendre le signe +. Les coordonnées du centre de courbure sont par suite données par les formules
Lorsque les coordonnées {Xy y) d'un point de la courbe sont exprimées en fonction d'un paramètre variable <, on a (n° 33)
dy djc d^ y — dy d^x
-^ dx -^ dx^
et les formules (17) et (18) deviennent
p -u (dx'*'-{-dy^)'^ ^ dx{dx^-\-dy^)
, , ' dxd'^y — dyd^x' ^^ ^^ ' dxd^y — dyd'^x'
dy ( dx^ -h dy^ ) Xx — X = —
dx d-y — dy d'^x
En un point d'inflexion, j^'= o, et le rayon de courbure esl infini. En un point de rebroussement de première espèce, j^ peut
se développer suivant les puissances de a?^, commençant par un terme en x] y di une valeur finie, tandis que y est infini : le rayon de courbure est nul.
