Enveloppe d'un cercle. — Soit

réquation d'un cercle, a, 6, p étant des fonctions d'un paramètre variable t. Les points de contact de ce cercle avec son enveloppe sont à l'intersection du cercle avec la droite

(i6) (x — a)a' -^ (y — b)b' -h pp'=o,

qui est perpendiculaire à la tangente à la courbe G décrite par le

dp centre (a, b) du cercle, et dont la distance au centre est égale à p -^,

s étant l'arc de la courbe C. Celte droite coupe le cercle en deux points N, N', symétriques par rapport à la tangente MT; l'enveloppe se compose

FIg. 39.

donc de deux branches Ë, E', qui ne sont pas en général analytiquement distinctes. Plusieurs cas particuliers sont à remarquer :

I* Si p est constant, la corde des contacts NN' se réduit à la normale PP', et l'enveloppe se compose des deux courbes parallèles Ci, Ci, obtenues en portant sur la normale à la courbe G, de part et d'autre du point M, la longueur constante p.

r. — COURBES ENVELOPPES.

th

a** Si p = 5-f- G, on a p -^- = p; la corde NN' se réduit à la tangente aji

cercle au point Q. Les deux branches de l'enveloppe sont confondues, et cette enveloppe F admet pour normales les tangentes à la courbe G; on dit que G est la développée de F, et inversement F est une développante de G (voir n" 206).

Lorsque </p > ds^ la droite (i4) ne coupe plus le cercle, et Fenveloppe est imaginaire.

Caustiques secondaires, — Supposons que le rayon du cercle variable soit proportionnel à la distance du centre à un point fixe O. Si Ton prend ce pojnt fi\e pour origine, l'équation du cercle est

k étant un facteur constant, et la corde des contacts a pour équation

{x — a)a' ^ (y — b)b' -\~ k^{aa' -^ bb') = o.

Soient S et S' les distances du centre M (a, ^) du cercle à la corde des contacts et à la parallèle menée par l'origine; on tire de l'équation précédente 8 = A:* 8'. On obtiendra donc la corde des contacts en prenant sur le rayon MO un point P tel que MP = X'^MO et abaissant du point P une perpendiculaire sur la tangente au lieu du centre. Supposons A:<i, et soit E la branche de l'enveloppe du cercle qui est située" du même côté

Fig. 4o.

que le point O par rapport à la tangente à la courbe G. Appelons i et r les angles que font avec la normale MI les droites MO et MN; on a {fig-^o)

. . Mût

sinr =

Mp MN

sin t ^^9 ^'Q ' '^^ ~" Mjï "' MP ■" X'

Gela posé, imaginons que le point 0 soit un foyer lumineux, et que la coarbe G soit la limite de séparation entre le milieu où est le point 0 et

un nouveau milieu dont l'indice de refraction par rapport au premier soit

égal à V • Après la réfraction, le rayon incident OM se change en un rayon

réfracté MR qui, d'après la loi de la réfraction, est précisément le prolongement de NM. Tous les rayons réfractés MR sont donc normaux à Tenveloppe É, qu'on appelle la caustique secondaire par réfraction. La caustique proprement dite, enveloppe des rayons réfractés, est la développée de la caustique secondaire.

La seconde branche de l'enveloppe E' n*a évidemment aucun sens physique; elle correspondrait à un indice de réfraction négatif. Si Ton suppose X: = i, l'enveloppe E se réduit au point O lui-même, tandis que l'enveloppe E'est le lieu des symétriques du point O par rapport au'» tangentes de la courbe C. Cette courbe est aussi la caustique secondaire yjar réflexion pour les rayons lumineux issus du point O se réfléchissant sur la courbe G. On démontrera de la môme façon que, si de chaque point d'une courbe C comme centre on décrit un cercle dont le rayon soit proportionnel à la distance du centre à une droite fixe, on obtient pour enveloppes les caustiques secondaires relativement aux rayons lumineux issu» d'un foyer à l'infini.

il. - COURBURE.

205. Rayon de courbure. — D'après Tidée vulgaire de la courbure, on considère la courbure d'une courbe comme d^autant plus prononcée qu'elle s'écarte plus vite de sa tangente. Pour passer de cette notion un peu vague à une définition précise, considérons d'abord un cercle. Sa courbure augmente quand Je rayon diminue; il est donc naturel de choisir pour mesure de sa courbure la fonction du rayon la plus simple, qui augmente

quand le rayon diminue, c'est-à-dire l'inverse du rayon -jr- Soit,

sur un cercle de rayon R, un arc AB correspondant à un angle au centre w; l'angle dos deux tangentes aux extrémités A. et B a aussi pour valeur to, et la longueur de l'arc AB a pour valeur s = Ro). La courbure du cercle est donc aussi mesurée par

le quotient -• Or cette nouvelle définition peut s'étendre à un arc

de courbe plane quelconque. Soient AB un arc de courbe plane sans point d'inflexion, et o) l'angle que font les directions des tangentes aux deux extrémités, ces directions correspondant à un sens de parcours déterminé, par exemple le sens de parcours de A