II. — COURBURE

conslamment en croissant, et comptons l'arc de la développée de façon qu'il aille en croissant avec R. La formule précédente donne dsi = rfR, on en tire 5i = R + G et, par suite, arc I, I2 = Ro — R, ; rare de la développée est donc égal à la différence des rayons de courbure de la courbe (C) correspondant aux deux extrémités.

Cette propriété fournit un moyen mécanique pour décrire d'un trait continu la développante (C) connaissant la développée (D). Imaginons, en effet, qu'un fil soit enroulé sur la développée (D) à partir d'un point arbitraire A et s'en détache au point Ij pour

suivre la tangente I2M2; il suffira de couper le fil en Ma et de l'enrouler sur la développée en le maintenant toujours tendu : l'extrémité décrira la développante (C).

Cette construction peut encore s'énoncer comme il suit : Soit s l'arc AI de la développée; sur chaque tangente à la développée on porte une longueur IM = /, telle que / 4- ^ = const. En faisant varier cette constante, on obtient une infinité de développantes qui se déduisent toutes de l'une d'elles en portant sur la normale une longueur constante arbitraire.

Du reste, ces propriétés se déduisent très aisément de la formule générale qui donne la différentielle de la longueur d'un segment (n« 82)

dl = — dii cos Wi — d<Jx cos tOi ;

si la droite est tangente à la courbe décrite par Tune de ses extrémités et normale à la courbe décrite par l'autre extrémité, on peut

prendre w^ = ir, 0)2= -> ce qui donne dl — rfo-, = o. Si la droite

est normale à l'une des deux courbes, et la longueur / constante, on a rf/= o, cos<i>, = o, et par suite cosci>2= o.

L'énoncé précédent, relatif à l'arc de la développée, suppose essentiellement que le rayon de courbure varie dans le même sens entre les deux extrémités. Dans le cas contraire, l'énoncé doit être modifié; remarquons d'abord que si, en un point, le rayon de courbure est maximum ou minimum, on a rfR = o, et par suite

dx^ = dy^ = o ; la développée présente donc un point de rebroussement. Supposons, par exemple, que le rayon de courbure soit maximum pour le point M; on a

et par suite

arcFI, = IM — I,M,, arcCIî = IM — IiMj,

arcl,II,= 2lM — I,Mi- IjMj.

La différence I<Mi — I2M2 représente la différence des deux arcs Ilf, II2 et non leur somme.

207. Cycloïde- — La cycloïde est la courbe décrite par un point d'une circonférence qui roule sans glisser sur une droite fixe. Prenons pour axe des X la droite fixe, pour origine le point de cette droite où la circonférence lui est tangente au début du mouvement, etpour axe des^ la droite perpendiculaire. Lorsque la circonférence mobile est tangente en I, le point de cette circonférence qui était d'abord en O est venu en M, et l'on a arc IM = OL Prenons pour variable indépendante Tangle ^ que fait le rayon CM avec CI; on a, pour les coordonnées du point M (voir^^. 44)?