II. — COURBURE
P et Q étant les projections du point M sur 01 et IT,
X = 01 — IP = R<p — R sin<p, ^ = MP = IG -h GQ = R — R cosç,
et il est facile de s'assurer que ces formules sont exactes, quelle que soit la valeur de l'angle cp. Après un tour complet, le point décrivant a décrit
Fig. 44.
"îfT^
Tare OBOi, et, si le mouvement se continuait indéfiniment, on aurait une infinité d'arcs égaux à celui-là.
Des formules précédentes on tire
ar = R(o — sin<p), <ia? = R(i — cosç)cfcp, rf'jr = R sincp c/cp*, j^=R(i — cos^p), c(^ = Rsinçcf©, /i*^ = R cos çp c?«p* ;
le coefficient angulaire de la tangente peut s'écrire
dy sinç o
ax I — cosjp a
ce qui montre que la tangente en M est précisément la droite MT, car, dans le triangle isoscèle MTG, l'angle en T est la moitié de l'angle extérieur MGI = cp. La normale en M est donc la droite MI qui joint le point M au point de contact du cercle avec la droite fixe. Pour avoir l'arc de la cycloïde, nous avons la formule
ds^=: R«rf<p«[sin«<p-f-(i — coscp)«] = 4R«sin«-i- df^t^
ou
</5 = aRsin- </©, si l'on compte Tare de façon qu'il augmente avec çp. On en tire, en pre-
nant le point 0 pour origine des arcs.
{R(i — cosîj;
la longueur de l'arc OBOi s'obtient en faisant <p = air, ce qui donne 8R. L'arc 0M6| compris entre l'origine 0 et le point le plus haut B, est donc
égal à 4 ï^i et l'arc BM de la figure a pour expression 4Rcos-- Mais le
triangle MTC donne MT = 'iH cos ' : on a donc arc BM = 2MT.
On a de même pour l'aire de la cycloïde
<Jvt
c'est-à-dire
= / y dx = j R*(i — acosçp -h cos* <p)<fç
/*P/3 cosaoN ,
l'aire comprise entre l'arc OBOi et la base OOi est donc égale à 37tR', c'est-à-dire à trois fois Vaire du cercle générateur, (Galilée.)
La formule qui donne le rayon de courbure d'une courbe plane devient
8R3sin3J- û?©î p = = 4 R sin-^ :
aR^sin'— d'^^ a •
or le triangle MCI donne la relation Ml = aRsin^- On a donc p = a MI,
et le centre de courbure s'obtiendra en prolongeant la droite Mi au delà du point I d'une longueur égale à elle-même. Cette propriété permet de trouver la développée. Considérons, en effet, le cercle symétrique du cercle mobile par rapport au point I, et le point M' où la droite MI coupe ce cercle; on a évidemment M'I = MI, de sorte que M' est précisément le centre de courbure. Or on a
arcT'M'=iîR — arcIM'=7rR — arcIM = 7tR — 01,
ou encore
arcT'M'= OH — 01 = IH = T B'.
Le point M' décrit donc un arc d'une cycloïde égale à la première dont le point de rebroussement serait en B' et le sommet en O. Lorsque M décrit l'arc BOi, le point M' décrit un autre arc symétrique du premier par rapport à BB'.
H. — COURBURB. 497
208. Chaînette. — La chainette est la courbe plane représentéei dans un système d'axes rectangulaires convenablement choisi, par l'équation
elle présente la forme indiquée en MAM' sur la figure (fiff» 4^).
Fig. 45.
^^JC
De l'équation (21) on déduit
soit (p l'angle de la tangente TM avec Ox; de la valeur de^' on tire
sino =
COSQ =
Le rayon de courbure R a pour expression
or, dans le triangle MPN on a MP = MN coscp, et par suite
MF 7« C0SC3 a
Le rayon de courbure de la chaînette est donc égal à la normale MN; il serait facile d'en déduire la développée. L'arc AM de la chaînette est
égal à
ce qui peut encore s'écrire ^ =^sincp; si du point P on abaisse une perpendiculaire P/n sur la tangente MT, le triangle PM/n donne
M m = MP sin <p = 5.
L'arc AM est donc égal à la longueur M/n.
209. Tractrioe. — La courbe décrite par le point m est appelée tr<ictrice; c'est une développante de la chaînette, ayant un point de rebroussement en À. La tangente en m à cette courbe est précisément la droite mP ; mais le triangle MPm donne aussi mP =^cosçp = a, de sorte que la longueur mP de la tangente à la tractrice, comprise entre le point de contact m et Taxe des ar, est constante et égale à a. La tractrice est d'ailleurs la seule courbe jouissant de cette propriété.
Le triangle MTP donne également la relation M/n x mT c= a', de sorte que, dans une tractrice, le produit du rayon de courbure par la normale est constant; mais cette propriété appartient à une infinité d'autres courbes planes.
Soient (x^^ y\) les coordonnées du point m; on a
07 1 =3 07 — s COS<p =37 — a
ga — ^ a
JC X
j.i=^ — fsincp = -3^ j
c«-He
et, en posant e''= tang-» ces formules deviennent
(22) a?j = acos6 -Ha logftang- j > j'issasinO.
Lorsque le paramètre 6 varie de - à ir, le point (a?i, yi) décrit Tare kmn
asymptote à Ox\ 6 variant de — à o, le point (rPi,^i) décrira Tare km!n\
symétrique du premier par rapport à Oy, et correspondant à la branche AM' de la chaînette.
210. Équation intrinsèque. — Proposons-nous de déterminer une courbe plane, connaissant le rayon de courbure en fonction de l'arc, R = o{s). En désignant par a l'angle que fait avec Ox la direction de la
tangente, on a K = in -7-9 et par suite
