II. ~ SUBPACBS ENVELOPPES

surface S, il faut encore que l'on ail

àf . dS . df .

dx dy ^ dz

relation qui devient, en tenant compte de la précédente,

-r- da -\- -^ db = o,

aa ob

Comme a et 6 sont deux variables indépendantes, il faudra que Ton ait à la fois, pour le point de contact,

On obtiendra donc l'équation de l'enveloppe en éliminant a et 6 entre les trois relations (19) et (22). Le raisonnement prouve bien que la surface ainsi trouvée est tangente à la surface S, sauf si l'on a à la fois, pour les solutions communes aux équations (19) et (22),

dx dy dz *

cette surface est donc soit l'enveloppe, soit le lieu des points singuliers des surfaces S.

Nous avons donc, en définitive, deux espèces de surfaces enveloppes, suivant que les surfaces enveloppées dépendent de un ou deux paramètres. Par exemple, le plan tangent à une sphère ou à un hyperboloïde dépend de deux paramètres, et ce plan touche la surface en un point seulement. Au contraire, le plan tangent à un cône ou à un cylindre ne dépend que d*un paramètre variable, mais ce plan touche son enveloppe tout le long d'une génératrice.

221 . Surfaces développables. — La surface enveloppée par un plan ne dépendant que d'un paramètre variable est appelée surface développable.

Soit

(23) z = rtx -hy/(oL) -h Q(a)

l'équation du plan mobile P, a étant un paramètre variable, /(a) et ^(a) deux fonctions quelconques de ce paramètre. La caractéristique est définie par l'équation (28) jointe à l'équation

(24) X -i-y/'ioL) -h ©'(a) = o,

obtenue en difTérentiant par rapport à a; c'est donc une ligne droite G, et la surface développable est une surface réglée. Nous allons démontrer que toutes ces droites G sont tangentes à une courbe gauche. Pour cela, différentlons encore une fois par rapport à a; la nouvelle équation obtenue

détermine sur la caractéristique G un point particulier M. Le lieu de ces points M, lorsque a varie, est une courbe gauche F, dont la tangente est la droite G elle-même. La courbe F est, en effet, représentée par les trois équations (23), (24)} (25), dont on pourrait tirer les coordonnées x^ y^ z en fonction de a. Si l'on différentie les deux premières de ces équations, en ayant égard à la dernière, il vient

(26) dz = oidx -Jrf{(i)dy, dx -\'f{cL)dy = o,

relations qui expriment que la tangente à la courbe F est parallèle à la caractéristique G. D'ailleurs ces deux droites ont un point commun; donc elles se confondent.

Le plan osculateur à la courbe F est précisément le plan P luimême. Il suffît, pour le prouver, de démontrer que l'on a

dz = adx '^f{oL)dy^ d^z = aLd^x-\-/{aL)d^yy

dx^ dy^ dz, d^x^ d^y^ d^z étant les différentielles du premier et du deuxième ordre de x^ y^ z par rapport à a. La première de ces relations a déjà été établie, car c'est la première des relations (26); si on la différentie de nouveau, il vient

d^z = ad^x-^f{%)d^y -h [dx -{' f {ti)dy'\doL,

ce qui donne la dernière relation à établir, en tenant compte de la seconde des relations (26). Toute surface développable peut donc être définie comme la surface engendrée par les tangentes à une courbe gauche F. Celle courbe F peut, comme cas exceptionnel, se réduire à un point, à dislance finie ou à Finfîni; la surface est alors un cône ou un cylindre. C'est ce qui arrive lorsque y^( a) = o.

Réciproquement, toute surface engendrée par les tangentes à