Surfaces à un paramètre. — Soit

l'équation d'une surface S, dépendant d'un paramètre arbitraire a. S'il existe une surface E tangente à chacune des surfaces S le long d'une courbe G, cette surface E est appelée Venveloppe des surfaces S, et la courbe de contact G des deux surfaces S et E est la caractéristique.

Pour reconnaître s'il existe une enveloppe, il faut donc examiner s'il est possible de déterminer sur chacune des surfaces S une courbe G telle que le lieu de ces courbes soit tangent à la surface S le long de G. Soient x,y, z les coordonnées d'un point M de la caractéristique ; si ce point n'est pas un point singulier de la surface S, l'équation du plan tangent à cette surface est

D'autre part, quand on se déplace sur l'enveloppe ^^ x^ y^ z^ a sont des fonctions de deux variables indépendantes vérifiant l'équation (16) et, entre leurs différentielles, on a la relation

(17) J- dx -\- -f- dy -\- ; dz -\- -f- da = o; ^ ''' dx ôy -' dz da

pour que le plan tangent à la surface E soit identique au plan tangent à S, il faut et il suffit que l'on ait entre les difl'érentielles dx^ dy^ dz^ la relation

— dx H — — dv H — - dz z=z o.

dx dy -^^ dz '

520 CHAPITBB XI. — COUBBES GAUCHES.

condition qui devient, en tenant compte de la précédente, (.8) g = o.

On démontrera inversement, comme pour les courbes planes (n"201), que la surface R(^, j^, z) = o, obtenue par l'élimination du paramètre a entre les deux équations (i6) et (i8), représente, soit l'enveloppe des surfaces S, soit le lieu des points singuliers. La caractéristique C représentée par les équations (i6) et (i8) est encore la position limite de la courbe d'intersection de la surface S avec une surface infiniment voisine de la même famille.

220. Surfaces à deux paramètres. — Considérons maintenant une équation

(19) A^yyy -» ^» ^) = 0»

qui représente des surfaces S dépendant de deux paramètres a et b. Il n'existe pas en général de surface tangente à toutes les surfaces de cette famille tout le long d'une courbe; en effet, si Ton établit entre les deux paramètres a et & une relation 6 = '^ (a), on a des surfaces ne dépendant plus que d'un paramètre a, et la caractéristique est représentée par l'équation (19) jointe à l'équation

àf àf ,

Cette caractéristique dépend en général de ^'{cl)^ de sorte que sur chaque surface S il y a une infinité de caractéristiques; elles n'engendrent donc pas une surface lorsque a et b varient. Nous allons chercher s'il existe une surface E touchant chacune des surfaces en un point seulement, ou en quelques points, et non tout le long d'une courbe. Si cette surface existe, les coordonnées (a:, y, z) d'un point de contact de la surface S avec l'enveloppe E sont des fonctions des deux paramètres variables a et 6 qui satisfont à la relation (19) et dont les différentielles dxj dy^ dz vérifient par conséquent la relation

àf ^ àf , àf , df . àf ,, (21) --;^- dx-^ -^ dy '\- -^ dz-\- -^ da-^ -^, do — o.

^ * àx ôy '^ àz àa oh

Pour que la surface, lieu du point (x, y^ 2), soit tangente à la