II. — SURFACES ENVELOPPES

En effet, le plan tangent à cette surface, qui a pour équation

Z =pX -h qY -\- z— px — qyj

ne doit dépendre que d'un paramètre; des trois quantités/?, y, z — px — qy, il y en a donc une seule d'arbitraire, et en particulier il y a une relation entre p et q^ /(/?, q) = o. On déduit de là

que le jacobien jrj^^-^ = ri — 6*^ doit être identiquement nul.

Inversement, si l'on a r^ — 5^=0, y et /> sont liés par une relation au moins. S'il y a deux relations distinctes, p el q sont des constantes /? = a, ^r = 6, et la fonction F(;r, y) est égale à ax H- by ~\-c\ la surface est un plan. S'il y a une seule relation entre p et y, on peut l'écrire q = f (/?), p ne se réduisant pas à une constante. Mais on a aussi

de sorte que z — px — qy est aussi une fonction de /?, soit <{^(/>), lorsque rt — 5^=10. La fonction inconnue z = F(x,y) et ses dérivées partielles p et q vérifient donc les deux relations

q =cp(/?), 2— /?ar — (p(/?)jK = <);(/?);

différentiôns la seconde par rapport à :c et à^, il vient

Puisque p ne se réduit pas à une constante, on doit avoir

x-\-yo'(p)-i-^\p) = o.

L'équation de la surface s'obtiendra donc en éliminant p entre

cette relation et

z=px-\-y^(p)'^^(p)y

ce qui donnera précisément l'enveloppe du plan précédent, où l'on regarde/? comme le paramètre variable.

223. Enveloppe d'une famille de courbes gauches. — Une famille de courbes gauches, dépendant d'un paramètre variable, n*admet pas en général de courbe enveloppe. Considérons d'abord

une famille de droites

(29) x = aZ'hp, jr zrzbz-i-q,

a, bj /?, q étant des fonctions données d^un paramètre variable a; nous allons chercher à quelle condition cette droite est tangente dans toutes ses positions à une courbe gauche F. Soit js = f(a) la coordonnée z du point M où la droite mobile D touche son enveloppe T ; la courbe cherchée F sera représentée par les équations (29), auxquelles on ajoutera la relation ^ = f(a), et les paramètres directeurs de la tangente à cette courbe auront pour expressions

a', 6', />', y' étant les dérivées de a, 6, /?, q. Pour que cette tangente soit la droite D elle-même, il faut et il suffit que l'on ait

ûfa? dz ^y __ 1^ ^^ d% ~" doL doL doL

c'est-à-dire

La fonction inconnue f (oc) doit donc satisfaire à deux relations distinctes, et par conséquent la droite mobile n'a une enveloppe que si ces relations sont compatibles, c'est-à-dire si l'on a

a'q'—b'p'=zo.

Lorsque cette relation est vérifiée, on obtiendra la courbe en-

veloppe en prenant ç(a) = — A = — ?-, •

Il est facile de généraliser le raisonnement. Considérons une famille de courbes gauches (C), dépendant d'un paramètre variable a, représentées par les équations

si ces courbes C sont tangentes à une courbe F, les coordonnées (a:, y, z) du point de contact M de la courbe C, qui correspond à la valeur a du paramètre, avec l'enveloppe sont des fonctions du paramètre a qui vérifient les équations (3o), et une autre relation