II. — SURFACES ENVELOPPES

distincte de celles-là. Soient dx^ dy^ dz les différentielles relatives à un déplacement du point M sur la courbe C; a restant constant sur la courbe C, on a entre ces différentielles les deux

* relations

àY , à? ^ dY ^

dx dy '^ dz

— dx A dv A dz = o.

dx dy -^ dz

Soient d^autre partSj;, S^, 8a, Sa les différentielles de x^y^ 5, a, relatives à un déplacement du point M sur la courbe F; ces différentielles vérifient les relations

I dY ^ dY ^ dY ^ dY ^ \ dx dy '^ dz da

\ dx dy *^ dz dix

Pour que les courbes C et F soient tangentes, il faut et il suffit

que Ton ait

dx __ dy dz

Sa? ^y "* ^z

et ces conditions deviennent, en tenant compte des relations (3i)

et (82),

dY ^ (M> .

Les coordonnées x, y^ z du point de contact doivent donc vérifier les équations

/oov 13. ^ àY d*

Pour que les courbes C admettent une enveloppe, il faut donc que les quatre équations précédentes soient compatibles, quelle que soit la valeur du paramètre a. Réciproquement, si ces équations admettent une solution commune en x, y^ z, quel que soit a, le raisonnement prouve que la courbe F décrite par ce point x^y^ z est tangente en chacun de ces points à la courbe C correspondante. Ceci suppose toutefois que le point de coordonnées {Xy y, z) n'est pas un point singulier de la courbe C, c'est-à-dire que les relations (3i) déterminent les rapports des différentielles dx^ dy, dz.

Remarque, — Lorsque les courbes C soot les caractéristiques d'une famille de surfaces à un paramèlre F(a:, y^ z, a) = o, les équations (33) se réduisent à trois équations distinctes

la courbe représentée par ces équations est donc l'enveloppe des caractéristiques. C'est la généralisation de la propriété établie plus haut pour les génératrices d'une surface développable.

Les équations d'une droite mobile se présentent quelquefois sous la forme

,3^. .^ — .'r„ V — ro z — zo

^oj yoi ^oi ^1 ^1 c étant des fonctions d'un paramètre variable a. Il est aise de trouver directement la condition pour que cette droite ait une enveloppe. Désignons par / la valeur commune des rapports précédents; les coordonnées d'un point quelconque de la droite ont pour expressions

et il s'agit de voir s'il est possible de prendre pour / une fonction de a telle que la courbe décrite par le point {x^y, z) soit tangente à la droite mobile. II faut pour cela que l'on ait

en désignant par m une nouvelle indéterminée égale aux rapports précédentSy et éliminant l et m entre les trois équations liuéaires obtenues, on est conduit à l'équation de condition

Si cette condition est satisfaite, les relations (36) donneront / et par suite l'enveloppe.

m. — COURBURE ET TORSION DES COURBES GAUCHES.

224. Indicatrice sphérique. — Sur une courbe gauche F adoptons un sens de parcours délerininé, et désignons par s l'arc de la courbe AM, compris entre un point A choisi pour origine et un

m. — COURBURE ET TORSION DES GOUREES GAUCHES. 52g

point quelconque M, précédé du signe + ou du signe — suivant que la direction de A en M est la direction positive ou la direction opposée. Soit MT la direction positive de la tangente en M^ c'està-dire celle qui correspond à des arcs croissants. Si par un point O de Tespace on mène des parallèles à ces demi-droites, on forme un cône S, qui est le cône directeur de la surface développable engendrée par les tangentes à la courbe F. Du point O comme centre, avec un rayon égal à Funité de longueur, décrivons une sphère et soit S Tintersection de cette sphère avec le cône précédent, la courbe S est appelée Vindicatrice sphérique de la courbe F. Ces deux courbes se correspondent point par point; à un point M de F correspond le point m, où la parallèle à la direction MT perce la sphère. Lorsque le point M décrit F dans le sens positif, le point m décrit la courbe S dans un certain sens, que nous adopterons comme sens positif sur la courbe S, de façon que les arcs correspondants s et o-des deux courbes croissent en même temps {fig* 48).

Fig. 48.

Il est évident que, si Fon déplace le centre O de la sphère, la courbe S subit la même translation ; nous supposerons dans la suite que le centre O coïncide avec Torigine des coordonnées. De même, si Fon change le sens positif sur la courbe F, la courbe I est remplacée par la courbe symétrique relativement au point O; mais il est à remarquer que la direction positive mt de la tangente à 2 ne dépend pas du sens du parcours adopté sur F.

Le plan tangent au cône suivant la génératrice 0/n est parai- G. 34

53o CHAPITRE XI. — COURBES GAUCHES.

lèle au plan osculateur en M. Soit, en eflfet,

AX-t-BY4-CZ = o

Téquation da plan 0 mm', le centre O de la sphère étant à Torigine; ce plan étant parallèle aux deux tangentes en M et M', on doit avoir, les points M et M' correspondant aux valeurs / et ^ -}- A du paramètre,

(38) A/'(0+ Bo'(0-H C^;'(0= o;

(39) A/'(^-h/t)H-B<p'(r + /i)-hC<.'(^-h A) = o,

la seconde de ces relations peut être remplacée par la suivante

qui devient, lorsque h tend vers zéro,

et les équations (38) et (4o) auxquelles on parvient sont précisément celles qui déterminent le plan osculateur.

225. Rayon de courbure. — Soit u) Tangle des directions positives MT, M'T' des deux tangentes aux points infiniment voisins M, M' de la courbe F. La limite du quotient — jvrjcp' lorsque

le point M' se rapproche indéfiniment du point M, s'appelle encore la courbure de F au point M; le rayon de courbure est l'inverse

8 PC MM' de la courbure, c'est-à-dire la limite du quotient • On peut

encore définir le rayon de courbure comme la limite du rapport des arcs infiniment petits MM', mm'] nous avons en efiet

arc MM' arc MM' arc m/n' corde mm'

w ~ arc mm' corde mm' u)

, j , arcmm' cordemm' i. . i,

et chacun des rapports 3 ?> a pour limite 1 unile

^^ corde m/n oî *

lorsque m' se rapproche de m. Les arcs 5, o- variant dans le même sens, on a donc