III. — COURBUBB ET TORSION DES COUBBES GAUCHES
élément géométrique qui mesure en quelque sorte la façon plus ou moins rapide dont tourne le plan osculaleur. Soit u)' l'angle des deux plans osculateurs aux deux points infiniment voisins M,
M'; on appelle torsion au point M la limite du quotient jvîxr'
lorsque le point M' se rapproche indéfiniment du point M. Le rajon de torsion T est l'inverse de la torsion.
Menons par le point M une perpendiculaire au plan osculateur, et, sur cette droite appelée binormaîe, adoptons une direction déterminée (que nous fixerons plus tard), de cosinus a", p*^, ^. La parallèle menée par l'origine perce la sphère de rayon un en un point /i, que nous ferons encore correspondre au point M de F.
Le lieu du point n est une courbe sphérique 6, et l'on montre,
comme plus haut, que le rayon de torsion T peut encore être
défini comme la limite du rapport des deux arcs infiniment petits
correspondants, arc MM', arc nn! ^ des deux courbes F et 0. On a
donc
T désignant l'arc de la courbe 6.
Les coordonnées du point n sont a", P", y", c'est-à-dire
le radical étant pris dans les trois formules avec le même signe. On déduit de là les valeurs de rfa", rfp", rf^"; on a, par exemple,
^ * i (A»-f-Bî-+-C*)^/A — A(Afl^A-+- BrfB-f-Gfl^C) d% =.± j 9
(A*-i-B*-+-C«)"» et la formule d'z^=drJ!^ -\- rfp"2+ rf/» ^oug donne
, (A«-f-B«-4-C«)(</A»-h^^-K/G»)-(A^A-t-BrfB-hCrfC)«
ou, en employant de nouveau l'identité de Lagrange,
(B rfG— G ^B)»-f-(G ^A — A </G)ï-f-( A £/B — B é/A)»
(^A»-hB«-{-G*)«
On peut simplifier le calcul du numérateur en utilisant les rela-
lions
Adx-hB dy-hCdz = o,
dX dx -4- rflB é/^ -h dC dz = o, d'où l'on lire
dx __ dy dz i
et il vient
(A« + B«-hG*)*
Quant à la valeur de K, on a, en développant,
(dzd^x — dx d^z){dxd^y — dy d^x)— {dx d!^y — dy d^x){dz d^x — dxd^z)
*~ dx
=idzd^xd^y — dxd^z d^y -^dyd^zd^x — d^ydsd^x-hdxd^yd^z — dyd^xd^z;
le second membre n'est autre chose que le développement du déterminant A[(n** 216), formule 8]. On a donc
rfx = d= ^ ,
et par suite
/c N T . A«-hB«-*-G« (5o) T = ±
Si l'on considère le rayon de torsion T comme une quantité essentiellement positive, de même que le rayon de courbure, on prendra pour T la valeur absolue du second membre. Mais il est à remarquer que l'expression obtenue est rationnelle en j?', afy a/"^
y ^y"^ y" -i ^^1 ^""i ^"'' ^' ®^^ donc naturel de considérer le rayon de torsion comme une longueur affectée d'un signe. Les deux signes correspondent à des dispositions entièrement différentes de la courbe F dans le voisinage du point M.
Le signe de T ne dépendant que du signe de A, étudions comment varie la disposition de la courbe avec ce signe. Nous supposerons que le trièdre Oxyz est disposé de telle façon qu'un observateur debout sur le plan des xy^ les pieds en O et la tête en 2, verrait l'axe Ox tourner de 90° de droite à gauche pour coïncider avec Oy, Gela étant, choisissons sur la binormale une direction MN^ telle que le trièdre (MT, MN, MN*) ait la même disposition que le trièdre Oxyz, Si Ton déplace la courbe F d'une
m. — COURBURE ET TORSION DES COURBES GAUCHES. 537
manière continue de façon à amener le point M en O, MT sur Ox, MN sur O^, la direction MN^ viendra coïncider avec Oz. Dans ce mouvement, la valeur absolue de T reste la même; donc A ne peut S'annuler et, par suite, conserve un signe constant (*). La courbe F étant rapportée à ce nouveau système d'axes de coordonnées, supposons que la valeur ^ = o du paramètre corresponde àPorigine; les coordonnées d'un point voisin auront des expressions de la forme suivante
IX = ait -h t^ (at + e),
€, c', c" étant inGnîment petits avec t; en effet, dans le système d'axes choisi, on doit avoir, pour t = o,dy = dz = d'^z = o. On peut supposer a^ > o, car il suffirait de remplacer t par — l pour changer ai en — «i ; b^ est positif puisque y doit être positif pour les valeurs de t voisines de zéro, mais Cz peut être positif ou négatif. Or on a, pour ^ = o, A = i^ai biC^dt^, de sorte que A a le signe de C3. Cela posé, deux cas sont à distinguer, suivant le signe de C3 : I** si C3 > o, ^ et z sont négatifs lorsque t varie de — A à o et positifs lorsque t varie de o à + A (A étant un nombre positif
Fi g. 49 a.
très petit). Un observateur debout sur le plan osculateur, les pieds en un point P de la normale principale, verrait l'arc MM' à sa gauche au-dessus du plan osculateur et l'arc MM'' à droite audessous du plan osculateur (Jig' 49 ût). La courbe est donc sinistrorsum. On aurait la disposition inverse (Jig. 49 b) si Cs était
(*) Il est du reste facile de démontrer par un calcul direct que A ne change pas quand on passe d'un système d'axes rectangulaires à un système d'axes rec* tangulaires de même disposition.
négatif; la courbe serait dextrorsum. Ces deux dispositions sont absolument distinctes l'une de l'autre. Par exemple, deux hélices de même pas, tracées sur deux c^^lindres de révolution de même rayon, sont superposables si elles sont toutes les deux dextrorsum ou sinistrorsum ; mais, si l'une est dextrorsum et l'autre sinistrorsum, l'une d'elles est superposable à la symétrique de l'autre par rapport à un plan.
Nous écrirons désormais la formule qui donne la torsion
(5.) ^^A.-HBJH-C.
en un point où T est positif, la courbe est dextrorsum, et sinistrorsum en un point où T est négatif. Ce serait le contraire avec une disposition différente du trièdre Oxyz.
229. Formules de Frenet. — Chaque point M de la courbe F est le sommet d'un trièdre trirectangle, de même disposition que le trièdre Oxyz^ formé par la tangente, la normale principale et la binormale. La direction positive de la normale principale est bien déterminée, tandis que la direction positive de la tangente peut être prise arbitrairement et détermine celle de la binormale. Les différentielles des neuf cosinus directeurs a, p, y, . . . s'expriment très simplement au moyen de R, de T et de ces cosinus euxmêmes, par des formules dues à Frenet ( ^ ). Nous avons déjà obtenu les formules qui donnent rfa, e/p, rfv,
^ ^ ds ~ R' ds ~ R' ds ~ R'
Soient
y/A«-4-R>-+-C« /A«-4-B*-hG« /A»-t-B«-»-G«
les cosinus de la direction positive sur la binormale. Le trièdre (MT, MN, MN*) ayant la même disposition que le trièdre Oxyz^ on doit avoir
ou
BY-Cp
(/) Voir Nouvelles Annales de Mathématiques, i864; p. 284.
m. — COUBBVBB ET TOBSION DES COUBBES GAUCHES. SSg
D'autre part, la formule qui donne da!' peut s'écrire
da = e — i ^ i ,
ou, en tenant compte des relations (4g) et de la valeur de K,
da" ___ Cp — By Ag^
Le coefficient de a' n'est autre chose que = [formule (Sa)]; on calculerait de même d^" et rfy, et nous avons les formules (^ )
tout à fait pareilles aux formules (53).
Pour avoir rfa', rfp', rfy', différentions les relations bien connues
aa'-h pp'-h Yy'=o,
ce qui donne, en remplaçant rfa, rfp, t/y, rf*"? ûf?"> «Y' par leurs valeurs tirées des formules (53) et (54),
a'dz'-^^'d^'-\-id^'=o,
«•^a'-i- pvp'-t- y'^ï'-*- y = °' nous n'avons plus qu'à tirer rfa', rf^', rf^ de ces relations
r«^ f^'-««^?: fi'-«i p: fÇï:^T ï:
'^^^ c^* "" R T' rf* ~ R T' £/5 ~ R T'
Les formules (53), (54), (55) sont les formules cherchées.
(*) Si l'on avait écrit la formule qui donne la torsion, =, = -r^ — 53 — 7^> J*
aurait fallu écrire les formules de Frenet
Remarque. — Les formules (54) montrent que la tangente à la courbe sphérique 6 décrite par le point n de coordonnées ofj P", y est parallèle à la normale principale. C'est ce que montre aussi la géométrie. Considérons, en effet, le cône S' de sommet O ajant pour directrice la courbe 6; la génératrice On est perpendiculaire au plan tangent au cône S suivant Om(n^ 228), et par conséquent le cône S' est supplémentaire du cône S. Mais on sait qu'il y a réciprocité entre deux cônes de cette espèce, de sorte qu'inversement la génératrice Om de S est perpendiculaire au plaa tangent au cône S' suivant On. Cela étant, la tangente mt à la courbe S, étant perpendiculaire aux deux droites Om, O/t, est perpendiculaire au plan mOn. Pour la même raison, la tangente ni' à la courbe © est perpendiculaire au plan mOn. Ces deux droites sont donc parallèles.
230. Développements de x^ y^ z suivant les puissances de «• — Etant données deux fonctions d^une variable indépendante 5, R== cp(5), T= ^(5), dont la première est positive, il existe une courbe gauche F, qui est complètement définie, abstraction faite de sa position dans l'espace, dont le rayon de courbure et le rayon de torsion s'expriment par les formules précédentes au moyen de l'arc compté à partir d'un point de cette courbe. La démonstration rigoureuse de cette proposition ne peut être faite qu'après la théorie des équations différentielles. Nous allons montrer seulement comment on peut trouver les développements des coordonnées d'un point de la courbe cherchée suivant les puissances de 5, en admettant la possibilité de ces développements. Prenons pour axes de coordonnées la tangente, la normale principale et la binormale au point O à partir duquel on compte l'arc; les coordonnées d'un point de la courbe cherchée, voisin de Torîgine, ont pour expressions
^ s / dx\ s* /d^x\ s^ /d^x\
i\ds/o i.ixds^Jo i,i.Z\ds^/o
*~"i\û?5/o i.a\^*'/o 1.2.3 \rf**/o
lir. — COURBURE ET TORSION DES COURBES GAUCHES. 54 1
Mais on a
dx ds
d'^x ds^
dtx
ds "
et,
en
difTérentii
ant de
nouveau,
rfR
ds^ et, d'une façon générale, on obtient, par l'emploi répété des for-
"ds'
mules de Frêne t, l'expression de -^-^
L/i, Mn, Pu étant des fonctions connues de R, T et de leurs dérivées successives par rapport à l'arc. On aurait de même les dérivées successives de^ et de z en remplaçant a, a', a" par p, P', ^'^ et y, y', y. Mais on a, pour l'origine, ao=i, po=o> Yo=o»
*i = o» P'o = ' > Yo = ^J «0 = Oj Pô = ^j YÔ = '' c^ les formules ( 56) deviennent, en se bornant aux termes en s, 5^, 5',
(56bis) (^=--^^-^^^...,
