III. — COUEBURE ET TORSION DES COUHBES GAUCHES
Soient
les coordonnées d'un point de la courbe F dans un système d'axes rectangulaires ajant le point O pour origine. Les coordonnées du point m sont précisément les cosinus directeurs de MT
'"^Ts' P=rfF' "f^dS'
on déduit de ces formules
dsd^x — dx d^s .^ ds d^y — dyd*s , dsd^z — dzd^s
"' = df ^ d.' • •*'- Si ■
ou, en développant les carrés et tenant compte des relations qui donnent ds^ et dsd^s^
j (cga?«-t- d>»4- dz^)[(d*x)^-h(d^y)*-h(d^z)*] ^(dx d^x 4- dyd^y -4- dz d^ z)« ^"^ ~ ds^ ^
L'emploi de Tidentité de Lagrange permet encore d'écrire
^"•= dT^ •
en posant^ comme nous le ferons dans la suite,
iX = dy d^z — dz d^y, B = dz d*x — dx d^z. C = dx d^y — dy d^x^
et la formule (40 qui donne le rayon de courbure devient alors
ds^
A«-hB«-+-G«'
R* est, comme on le voit, une fonction rationnelle de x, y^ z, x\ y, z'^ x"j y^^ z" , Quant au rayon de courbure lui-même, son expression est irrationnelle, mais c'est une quantité essentiellement positive.
Remarque. — Lorsque la variable indépendante est l'arc de la courbe F elle-même, les fondions f{s)^ ?(*)? ^(^) vérifient la relation/'^ (5) -\- ^'^{s) -f- ^''^(5) = 1, et la formule qui donne le rayon de courbure prend une forme élégante. Si l'on reprend, en
532 CHAPITRE XI. — COURBBS 6ALXHES.
eflet, le calcul précédent, on a, s étant la variable indépendante,
(45) da=f''(s)ds, d^ = ^''{s)ds, dy = Y(s)ds,
i d7^=\[r{s)y-^[^'(s)y-^[Y(s)y\ds^
et, par suite,
(44 àis) ^, =[r{s)]^^[Y{s)Y-^[Y{s)y.
226. Normale principale. Centre de courbure. — Par le point M de la courbe F, menons une droite parallèle à la tangente en m à la courbe S et considérons sur cette droite la direction MN parallèle à la direction positive mt. La droite ainsi obtenue s'appelle la normale principale à F; c'est la normale située dans le plan osculateur, puisque mt est perpendiculaire sur 0/w et que le plan Omt est parallèle au plan osculateur (n° 224). La direction MN est la direction positive de la normale principale. C'est une direction bien définie, puisque la direction de mt ne dépend pas du sens de parcours adopté sur F. Nous verrons tout à Fheure comment on pourrait définir cette direction sans se servir de l'indicatrice.
Si l'on porte sur la direction MN, à partir du point M, une longueur MG égale au rayon de courbure, l'extrémité C s'appelle le centre de courbure, et le cercle décrit du point C comme centre avec le rayon MC dans le plan osculateur s'appelle le cercle de courbure. Soient a', P', y' les cosinus directeurs de la normale principale; les coordonnées x^^y^^ z^ du centre de courbure ont pour expressions
Or, on a
, ^ doL __ doL ds __ ^ d% ^ -^ dsd^x — dxd^s "* rf(T ~~ ds d<j ^ ds ds^
et des formules analogues pour ^' et y. En remplaçant a! par sa valeur dans Xt, il vient
... ds d^x — dx d*s
m. — COURBURE ET TORSION DBS COURBES GAUCHES. 533
le coefficient de R^ peut encore s'écrire ds^ d^x — dx ds d* s d^x(dx^-i-dj^^'+'dz^) — dx{dxd^x->rdyd^y-^dzd^z)
OU, en introduisant les coefficients A, B, C,
^dz — Qdy
ds^
Les valeurs de^j et de Z\ se déduisent de celles de X{ par symétrie et l'on a, en définitive, pour les coordonnées du centre de courbure,
' . A dv — B dx
ces formules sont rationnelles en x^y^ Zy x'^y, z\ od\y\ z".
Si l'on mène par le point M un plan Q perpendiculaire sur MN, ce plan passe par la tangente MT et ne traverse pas la courbe F au point M. Nous allons montrer que le centre de courbure et les points de F voisins de M sont du même côté de ce plan Q. Pour établir cette propriété, supposons que la variable indépendante soit l'arc s de la courbe F compté à partir du point M; on a, pour les coordonnées X, Y, Z d'un point M' voisin de M,
„ s dx s* /d*x \
1 ds 1 . 2 \ ds^ I
et deux développements analogues pour Y et Z. Mais, la variable indépendante étant s^ on a
dx d'^x __ di doc du \ ,
ds * ds^ ds d<s ds K
et la formule qui donne X devient
Si l'on remplace X, Y, Z par leurs valeurs dans le premier membre de Téqualion du plan perpendiculaire à MN,
534 CHAPITRE XI. — COURBES GAUCflES.
le résullat de la substitution est
7) étant infiniment petit en même temps que s', ce résultat est positif pour les valeurs de s voisines de zéro. De même en remplaçant X, Y, Z par les coordonnées x + Ra', . . ., du centre de courbure, le résullat de la substitution est R, quantité essentiellement positive, ce qui démontre la propriété énoncée.
227. Droite polaire* Surface polaire. — La perpendiculaire A au plan osculateur menée par le centre de courbure s'appelle la droite polaire. Cette droite est la caractéristique du plan normal à F. Il est évident d'abord que Tinlersection des deux plans normaux aux points voisins M, M' est une droite D perpendiculaire aux deux droites MT, M'T' et, par suite, au plan mOm!, Lorsque le point M' se rapproche de M, le plan mOm' devient parallèle au plan osculateur, la droite D a donc pour limite une droite perpendiculaire au plan osculateur. Pour démontrer que cette droite passe par le centre de courbure, supposons qu'on ait pria pour variable indépendante l'arc 5 de F; le plan normal a pour équation
(47) «(X-a7)-hP(Y-^)H-Y(Z-^) = o,
et la caractéristique est définie par les équations (47) et (48)
La nouvelle équation représente un plan perpendiculaire à la normale principale et passant par le centre de courbure. L'intersection de ces deux plans est donc la droite polaire.
La surface réglée, lieu des droites polaires, est la surface polaire. D'après ce qu'on vient de démontrer, c'est aussi la surface développable enveloppe du plan normal à F. Lorsque la courbe F est une courbe plane, la surface polaire est le cylindre ajant pour section droite la développée de F, et les propriétés précédentes deviennent évidentes.
228. Torsion. — En remplaçant dans la définition de la courbure la tangente parle plan osculateur, on est conduit à un nouvel
