IV. — CONTACT DES COURBES GAUCHES, ETC

les paramètres variables étant a, 6, c, R, et les rapports de deux, des coefficients A, B, C au troisième. Les équations qui déterminent les valeurs de ces paramètres sont alors, en supposant x, y^ -9 remplacées par /(/), f(/), *\{t) respectivement,

. dx (iv ^ ds dt fil dt

é/f2 dt* dn '

/ dX , t ^ fi^' , ^ ^-

d^T , , </*r , d-^z dx"' ^ dy^- ~ dz^

^ dt^ ^^ dt^ ^ ' dt*' df^

La seconde et la troisième de ces relations montrent que le plan du cercle osculateur est le plan osculateur lui-même. Quant aux deux dernières équations, elles représentent respectivement, quand on j regarde a, 6, c comme des coordonnées courantes, le plan normal au point (Xy y^ z) et le plan normal infiniment voisin. Le centre du cercle osculateur est donc à Tintersection du plan osculateur et de la droite polaire. Le cercle osculateur se confond par conséquent avec le cercle de courbure, comme on pouvait le prévoir a priort\ en observant que deux courbes qui ont un contact du second ordre ont même cercle de courbure, puisque j^', z', y" ^ ;;" sont les mêmes pour les deux courbes.

236. Contact d'une courbe et d'une surface. — Considérons une surface S et une courbe F tangente en un point A à cette surface. A un point M de la courbe voisin du point A, faisons correspondre, d'après une loi arbitraire, un point M' de la surface, de façon que les deux points M et M' tendent en même temps vers le point A. Nous allons d'abord chercher comment il faut prendre le point M' pour que Tordre infinitésimal de MM' par rapport à l'arc AM soit le plus grand possible. Rapportons la figure à trois axes de coordonnées rectangulaires choisis de telle façon que la tangente à la courbe F ne soit pas parallèle au plan des j^^, et que le plan tan-

gent à la surface ne soit pas parallèle à O^. Soient Xo» y^^ z^ tes coordonnées du point A, Z = F(^, y) Féquation de la surface S, y=^f(x), z = '•o{x) les équations de F, et imaginons que, dans un certain mode de correspondance, MM' soit un infiniment petit d'ordre n -f- 1 . Les coordonnées x, y^ z du point M sont

appelons X, Y, Z-=F(X, Y) les coordonnées de M'. Pour que MM' soit d'ordre n -j- i par rapport à l'arc AM ou, ce qui revient au même, par rapport à A, il faut que chacune des difierences X — .r, Y — y^ Tj — z soit un infiniment petit d'ordre n H- i au moins. On doit donc avoir

X — ar^ a/i"-»-', Y— ^= pA«-^->, Z — j = F(X, Y) — -s =r y^*"*"*»

a, p, Y restant finis pour A =r: o, et par suite

La différence F(a;, y^ — z sera donc elle-même d'ordre n + i au moins, (^eci prouve que, si l'on fait correspondre au point M de F le point N de S où la parallèle à O^ perce la surface, l'ordre infinitésimal de MN est au moins égal à celui de MM'. On aura donc l'ordre de contact de la surface et de la courbe en cherchant l'ordre infinitésimal de MN par rapport à l'arc AM ou à h. On peut dire encore que dest Vordre de contact de F avec la courbe F' qui est la trace sur la sur/ace du cylindre projetant F parallèlement à Oz, (Il est clair d'ailleurs que la direction de Oz peut être une direction quelconque non parallèle au plan tangent.)

Les équations de la courbe F' sont

et l'on a, par hypothèse,

*P(xo) — 9(a7o), ^'{xq) = <p'(a7o); si l'on a, en outre,

la courbe et la surface ont un contact d'ordre n. Observons que l'équation ^{x) ^^ ^{x) donne les abscisses des points d'inierscc-