IV. — CONTACT DES COURBES GAUCHES, ETC
ces courbes sont tangentes en un point si, pour u=s 1-= t^, on a
nous supposerons qu'au point de contact la tangente n'est pas parallèle au plan desyZj c'est-à-dire que/'(/o) n'est pas nul. Les points des deux courbes qui ont même abscisse correspondent à une même valeur de /. Pour qu'il y ait un contact d'ordre /t, il faut et il suffît que ^{t) — ?(0> ^(^) — "^(0 soient des inflniment petits d'ordre /i -4- i par rapport à t~-t^^ c'est-à-dire que l'on ait
4»'(*o) = f('o) *<«'('o) = ?^«'r-fo).
l'une au moins des différences
n'étant pas nulle.
On ramène au cas précédent le cas où l'une des courbes F est représentée par les équations
((5/) a?=/(o, j^ = ?(0. ^=Ht).
la courbe F' étant représentée par un système de deux équations non résolues
En reprenant les raisonnements du n^ 212, on démontre que, pour qu'il y ait un contact d'ordre n au point de F qui correspond à la valeur /o de t^ on doit avoir
en posant
^(0 = F[/(0, ?(0, +(0]. ^x{t) - F,[/(o, ?(0, 'KO].
235. Courbes oseulatrices. — Considérons, d'une part, une courbe déterminée F dont les coordonnées sont exprimées en fonction d'un paramètre par les formules (67); d'autre part, une famille de courbes F' dépendant de 2/1 + 2 paramètres a, 6, e, • • . , /, représentées par les équations
(69) F{Xyy,z,a,b, ...,/) =0, ¥i(x,y^z,a,b,c, ...,/) =0.
55'2 CHAPITRE \I. — COIRBES GACCHBS.
On peut en général disposer de ces 2/1 -h- 2 paramètres de façon que l*une des courbes de celle famille ail un contact d^ordre n avec la courbe F en un point donné. La courbe ainsi obtenue est dite osculatrice à F. Les équalions qui déterminent les paramètres a, b, c^ . . . , / sont précisément les 2 /i -h 2 équations (68) écrites plus haul. II est à remarquer que ces équations ne peuvent être compatibles que si chacune des fonctions F, F| contient au moins n -f- I paramètres. Par exemple, si les courbes F' sont des courbes planes, Fune des équalions (69) ne renferme que trois paramètres ; une courbe plane ne peut donc avoir avec une courbe gauche un contact d'ordre supérieur au second, en un point pris au hasard sur la courbe gauche.
Appliquons cette théorie aux courbes les plus simples, la droite et le cercle. Une droite dépend de quatre paramètres; la droite osculatrice aura donc un contacl du premier ordre. Il est facile de vérifier qu'elle se confond avec la langenle; si nous écrivons les équations de la droite
X = az -+-/>, y ~ bz -r- q,
les équations (68) deviennent en eflet, pour un point (xo, j'o, -0 • d'une courbe F,
et l'on en tire
on relrouve bien les équations de la langenle. Pour que la tangente eût avec la courbe un contact du second ordre, il faudrait que Ton eût x'I = «5*,^* = bzl, et par conséquent,
*^o Yq ^0
les points où il en est ainsi ont été signalés plus haut (n^ 217 . Un cercle dans l'espace dépend de six paramètres; le cercle osculateur aura donc un contact du second ordre. Écrivons les équations du cercle
¥(x, y, z) — \{x — a) -irh{y — b)-^C{z — c) =0, • F,(ar, y, z) = {x — af- -^ (7 - bY-\'{z - c)^- R«= o,
