IV. — CONTACT DBS COUBBES GAUCHES, ETC

le rayon de la sphère osculatrice est donné par la formule

Si R est constant, le centre de la sphère osculatrice coïncide avec le centre de courbure; ce qui est bien d'accord avec un résultat déjà obtenu (n° 233).

238. Droites osculatrices à une surface. — Si les équations d^une courbe C dépendent de tî -h a paramètres variables, on peut disposer de ces paramètres de façon que cette courbe ait, avec une surface donnée S, en un point donné M, un contact d*ordre n. En effet, en écrivant que la courbe C passe par le point M, et qu'elle y rencontre la surface S en /i -4- i points confondus, on a en tout /i + 2 équations pour déterminer les paramètres. Par exemple, une droite dépend de quatre paramètres; il existe donc, en chaque point d'une surface, une ou plusieurs droites ayant un contact du second ordre avec la surface. Pour déterminer ces droites, prenons pour origine le point considéré de la surface, l'axe des z n'étant pas dans le plan tangent, et soit z = F(x, y) l'équation de la surface dans ce système d'axes. La droite cherchée passe évidemment par l'origine, et ses équations sont de la forme

l'équation cp = F(ap, 60) doit admettre p = o pour racine triple, ce qui exige que l'on ait

c = ap -\- bçy

o = a'r-h 2abs -+- b^t,

P'i 9î '*j Sf t désignant les valeurs des dérivées du premier et du second ordre de F(j:, y) pour x=y =^0, La première de ces deux relations exprime que la droite cherchée est dans le plan langent à la surface, ce qui était encore évident a priori. On voit

de plus que le rapport - est déterminé par une équation du second

degré, qui a ses racines réelles pourvu que 5^ — rt soit positif. En chaque point d'une surface, il y a donc en général deux droites, et deux seulement, qui ont un contact du second ordre

avec la surface; ces droites sont réelles ou imaginaires suivant le signe de s- — rt. Nous retrouverons ces deux droites au Chapitre suivant, dans l'étude de la courbure des surfaces.

1. Trouver en termes finis les équations des développées de la courbe qui coupe sous un angle constant les génératrices rectilignes du cône circulaire droit; discussion.

[Licence : Marseille, juillet 1884.]

â. Existe-t-il des courbes gauches F telles que les points de rencontre d'un plan fixe P avec la tangente, la normale principale et la binormale soient les sommets d'un triangle équilatéral?

3. Soit r l'arête de rebroussement d'une surface enveloppe de sphères (enveloppe des cercles caractéristiques); la courbe qui est le lieu du centre de la sphère variable est située sur la surface polaire de V. Réciproque.

4. Etant donnée une courbe gauche T, par- un point fixe O de l'espace on mène une droite parallèle à la droite polaire en un point M de T, et l'on porte sur celte droite une longueur ON égale au rayon de courbure de F au point M. Le point N décrit une courbe gauche F\ qui correspond à la courbe V, lieu des centres de courbure de F, avec égalité et orthogonalité des éléments linéaires. Les rayons de courbure des deux courbes F' et F' sont égaux aux points correspondants.