ROUQUET
5. Si le rayon de la sphère osculatrice à une courbe gauche F a une longueur constante a, cette courbe est située sur une sphère de rayon a. à moins que le rayon de courbure ne soit constant et égal à a.
G. Pour que le lieu des centres de courbure d'une hélice tracée sur un cylindre soit une autre hélice tracée sur un cylindre parallèle au premier, il faut et il suffit que la section droite de celui-ci soit un cercle ou une spirale logarithmique. Dans le dernier cas, ces hélices sont situées sur des cônes de révolution de même axe et de même sommet.
[Tissor, Nouvelles Annales, t. XI; i852.]
7*. Si deux courbes gauches admettent les mêmes normales principales, les plans osculateurs de ces deux courbes aux points où elles coupent une même normale font un angle constant. Ces deux points et les centres de courbure des deux courbes déterminent quatre points dont le rapport aiiharmonique est constant. Le produit des rayons de torsion des deux courbes aux points correspondants est constant.
[ Paul Serrkt, Mannheim, Schell.]
8*. Soient x^ y, z les coordonnées rectangulaires d'un point d'une courbe gauche F, s l'arc de cette courbe. On appelle courbe adjointe la
courbe Fq dont les coordonnées ont pour expressions
i;t courbes associées les courbes représentées par les équations
X — arcos6 -harosinO, Y — ^ cos6 -t-^osinO, Z — 5 cosO-hZosinO,
où 0 est un angle constant. Trouver la disposition du trièdre fondamental pour ces nouvelles courbes, ainsi que les rayons de courbure et de torsion. Si la courbe F est à courbure constante, la courbe Fq est à torsion constante, et les courbes associées sont des courbes de M. Bertrand. En déduire les équations générales de ces dernières courbes.
9. Étant données deux courbes F, F', tangentes en un point À, on prend sur ces courbes, à partir du point A, et dans le môme sens, deux arcs égaux très petits AM, AM'. Trouver la position limite de la droite MM'.
[Cauchy.]
10. Pour qu'une droite invariablement liée au trièdre fondamental d'une courbe gauche F, et passant par le sommet du trièdre, engendre une surface développable, il faut que cette droite se confonde avec la tangente, à moins que la courbe F ne soit une hélice. Dans ce cas, il y a une infinité de droites répondant à la question.
Pour une courbe de M. Bertrand, il existe deux paraboloïdes hyperboliques, invariablement liés au trièdre fondamental, dont toutes les génératrices engendrent des surfaces développables.
[GfssARô, Rivista di Mate mat ica, t. ÎT, 1892; p. i55.]
11'. Pour que les normales principales d'une courbe gauche soient les binormales d'une autre courbe gauche, on doit avoir entre le rayon do courbure et le rayon de torsion une relation de la forme
A et B étant des constantes.
[Mannheim; Comptes rendus, 1877.]
Les cas où une droite menée par un point d'une courbe gauche, et invii-
riablement liée au trièdre fondamental, reste la normale principale ou la
binormale d'une autre courbe gauche ont été étudiés par Pellet {Comptes
rendus^ mai 1887), par Cesaro {Nouvelles Annales, 1888; p. i47)» pi*r
Balitrand {Mathesis, 1894; p. i59).
12. Si le plan osculateur à une courbe gaifthe F reste tangent à une sphère fixe, de centre 0 : i°le plan mené par la tangente, perpendiculaire ù la normale principale, passe par le point O : 1^ le rapport du rayon de courbure au rayon de torsion est une fonction linéaire de l'arc. Réciproques.
