III. — LIGNES DE COURBURE. SgS
parallèle au plan des xy\ F (a, ^) est une fonction des deux variables a et z qui dépend de la surface considérée. Les coordonnées x^y d'un point de la surface s'obtiendront en joignante Téquation précédente la relation
àV — a? sin a 4- y cos a = t- •
Les formules qui donnent x^ y, z sont donc les suivantes
ôF dF
(46) a7 = Fcosa — -p sinot, j^ = Fsina4- -7— cosa, z = z\
toute surface peut être représentée par des équations de cette forme, en choisissant convenablement la fonction ¥{%, z). Il n'y aurait exception que pour les surfaces réglées admettant le plan 2=0 comme plan directeur.
Un calcul facile donne, pour les coefficients A, B, G de Téquation du plan tangent,
A = cos a, B = sina, G = — t->
oz
de s6rte que le cosinus de l'angle que fait la normale avec O2 a pour expression
Pour que les sections planes situées dans les plans parallèles au plan xOy soient lignes de courbure, il faut et il suffit, d'après le théorème de Joachimsthal, que ces plans coupent la surface sous un angle constant, c'està-dire que V soit indépendant de a. Il faut et il suffit pour cela que F' (2) ne dépende que de la variable z, et par suite que F(z) soit de la forme
F(2) = o(i;)-^4.(a), les fonctions cp et i{/ étant arbitraires. Les formules (46) deviennent alors
ix = 4'(a)cosa — 4^'(a)sin3c -i-<p(>8)cosa, ^,, , .y'= 'Ka) sina h- 4''(a)cosa -h ^{z) sina,
on obtient ainsi les surfaces les plus générales répondant à la question. On peut donner de ces surfaces la génération suivante. Les deux premières des équations (47) représentent, quand on y considère z comme constant et x comme variable, une famille de courbes qui sont les projections sur le plan z =^0 des sections de la surface par des plans parallèles au plan des xy. Or ces différentes courbes sont toutes parallèles à La courbe obtenue en faisant ^{z) =0; d'où l'on déduit la construction suivante : on prend, dans le plan 5 = 0, une courbe arbitraire et les différentes courbes parallèles à celle-là, puis on déplace chacune de
ces courbes, suivant une loi arbitraire, parallèlement à Qz\ la surface engendrée par les différentes positions de la courbe variable est la surface la plus générale répondant à la question.
Ce mode de généralion peut être, comme on le voit aisément, remplacé par le suivant : Les surfaces demandées sont engendrées par une courbe plane de forme arbitraire dont le plan roule sans glisser sur un cylindre à base quelconque. Ce sont donc des surfaces moulures.
On le vérifîe facilement sur les formules (47) en étudiant les courbes planes a = const. Les deux familles de lignes de courbure sont précisément les courbes planes z = G et a = G'.
