CHAPITRE XII
SURFACES
La même méthode permet aussi de former Téquationdu second degré qui admet pour racines les rayons de courbure principaux. Les lettres A, B, C, X, [x, v ayant la même signification que plus haut, on a, au signe près,
/A'-hB^-h C«
/A«-hB«4-G»
nous adopterons, pour direction positive de la normale, celle qui est définie par les formules précédentes. Si R est un rayon de courbure principal, pris avec son signe, les coordonnées du centre de courbure correspondant sont
X — a?-i-pA, Y = r-4-pB, Z = 3-t-pC,
où Von a posé
R = p v/A^-h B«-hC*.
Si le point (^, y, z) décrit la ligne de courbure tangente à la section normale principale dont le rayon de courbure est R, nous savons que le point (X, Y, Z) décrit une courbe F qui est tangente à la normale à la surface. On doit donc avoir
dx -\- pdX-\- Adp __ dy -^ p dB -h B dp dy -^ p dC -\- Cdp  ~ B "" G
ou, en appelant rfp 4- K la valeur commune de ces rapports,
(4o) rfj7 4-p<iA — AK = o, dy-{-pdB — BK = o, dz -{- p dC — CK = o.
En éliminant o et K entre ces trois relations, on retrouve bien Téquation différentielle (Sg) des lignes de courbure; mais, si Too remplace dx, dy^ dz^ dA, rfB, dC par
ÔX . dx .,
— - a« 4- -T- m-, au oç
àC , dC .
-r— «M -4- -î- af au ov
respectivement, puis qu'on élimine du, d\^ et K, on parvient à l'équation suivante qui détermine p.
dx dk du ' ' du
dx d\ dv ' ds?
dy ^ dB du ' '" du
dy dB dv ' d\?
dz dQ du ^ du
dz dC
dv ' dv
m. — LIGNES DE COURBURE. 687
R Il suffira d'y remplacer p par , pour avoir Inéquation
du second degré qui donne les raj^ons de courbure principaux. Les équations (ig) et (4o) permettent de répondre à un certain nombre de questions dont on s'est déjà occupé; ainsi, pour qu^un point de la surface soit un point parabolique, il faut et il suffit que le coefficient de p^ dans Téquation (4i) soit nul. Pour qu'un point soit un ombilic, il faut que Téquation {3g) soit vérifiée identiquement, quels que soient du et dv.
Cherchons encore, comme application, les rayons de courbure principaux de l'hélicoïde droit à plan directeur. On a, dans ce cas, en modifiant un peu les notations employées plus haut,
X = acosi^,
usinv.
Z — flP,
A — a sinp,
— acosc.
et l'équation (4i) se réduit à
a« pî = a* -4- a',
et' -{- w' d'où l'on tire R = ± • Les rayons de courbure principaux de
l'hélicoïde sont donc égaux et de signes contraires,
250. Théorème de Joachimathal. — On peut quelquefois trouver par des considérations géométriques les lignes de courbure de certaines surfaces. Ainsi, il est à peu près évident que les lignes de courbure d'une surface de révolution sont les méridiens et les parallèles de cette surface, car ces courbes sont tangentes en chacun de leurs points à l'un des axes de l'indicatrice. Gomme vérification, nous remarquerons que les normales le long d'un méridien forment un plan, et les normales. le long d'un parallèle un cône de révolution, c'est-à-dire des surfaces développables.
Sur une surface développable, une première famille de lignes de courbure est formée des génératrices. La seconde famille se compose des trajectoires orthogonales des génératrices, c'està-dire des développantes de l'arête de rebroussement (n** 231); elles s'obtiennent par une quadrature. Si l'on connaît l'une d'elles, on peut en déduire toutes les autres sans quadrature. Tous ces résultats sont faciles à vérifier par le calcul.
La théorie des développées d'une courbe gauche a conduit
588 CHAPITRB XII. — SURFACES.
Joachimsthal à un théorème important, souvent utilisé dans celte théorie. Soient S, S' deux surfaces se coupant suivant une courbe C, ligne de courbure pour chacune d'elles ; la normale MN à la surface S le long de C engendre une surface développable, et la normale MN' à Ja surface S' le long de C engendre une autre surface développable. Or ces deux droites sont normales Tune et Fautre à la courbe C. Par suite, si deux surfaces ont une ligne de courbure commune, elles se coupent sous un angle constant tout le long de cette ligne (n° 231 ).
Réciproquement, si deux surfaces se coupent sous un angle constant, et si la courbe d'intersection est une ligne de courbure pour l'une d'elles, elle est aussi une ligne de courbure pour la seconde. On sait en effet que, si une famille de normales à une courbe gauche C engendre une surface développable, il en est de même des normales obtenues en faisant tourner chacune d'elles d'un angle constant dans le plan normal à C.
Toule courbe plane ou sphérique est une ligne de courbure du plan ou de la sphère. On déduit donc du théorème de Joachimsthal le corollaire suivant : Pour qu'une courbe plane ou sphérique située sur une surface soit une ligne de courbure de cette surface, il faut et il suffit que la surface coupe le plan ou la sphère sous un angle constant.
251. Théorème de Dupln. — Nous avons déjà parlé à diverses reprises des systèmes triples orthogonaux (n®* 43, 146). L'origine de cette théorie remonte à un théorème célèbre, dû à Dupin, que nous allons établir :
Etant données trois familles de surfaces formant un système triple orthogonal, Vintersection de deux surfaces de familles différentes est une ligne de courbure pour chacune d'elles.
Nous nous appuierons pour la démonstration sur la remarque suivante. Soit F(^, j^, ^) = o l'équation d'une surface tangente à l'origine au plan des xy\ on a, pour les valeurs x=j^ = 5 = o,
j- = o, j- == o, tandis que la dérivée -p n est pas nulJe si, comme
nous le supposons, l'origine n'est pas un point singulier.
m. — LIGNES DE GOUBBURE. 589
Pour que les axes Oo? et Oy coïncident avec les axes de l'indicatrice, il faut et il suffit que Ton ait à Forigine 5 = 0. Mais la
dérivée seconde s = -^ — r- est fournie par la relation
ox oy *^
-+- H:;r7n: ^ + ;i77r:^ + THT /'^ + nr * =0;
dxdy dxdz^ ôjOz^ àz^ ^^ Oz
puisque /? et g sont nuls à Torigine, pour que s soit nul aussi, il faut et il suffît que Ton ait
Cela posé, soient
Fi{x,y, z) — p,, Fiixyy, z) = p,, F^ix.y, z) = p^,
les équations des trois familles du système. Les fonctions Ff, F2, F) vérifient la relation
dx dx ây dy âz dz *
et deux autres relations de même forme qu'on obtiendrait en permutant circulairement les indices i, 2, 3.
Par un point quelconque M de l'espace il passe une surface de chacune des familles du système triple, et les tangentes aux courbes d'intersection de ces surfaces prises deux à deux forment un trièdre trirectangle. Pour établir le théorème de Dupin, il suffit de montrer que l'une quelconque de ces droites est un des axes de l'indicatrice pour l'une ou l'autre des surfaces du système auxquelles elle est tangente.
Imaginons pour cela que l'on ait pris le point M pour origine et les arêtes du trièdre trirectangle précédent pour axes de coordonnées, de façon que les trois surfaces du système qui passent à l'origine soient tangentes respectivement aux trois plans de coordonnées. On aura, pour x =y = ^ = o,
/(^FA /(JF,\ /dFt\ ^
m.'"- m."- (t-xm."- m.>- (t).-
Pour que les axes Ox et Oy, par exemple, soient les axes de rindicatrice de la surface F,(j', y^ z) = o, il suffit que Ton ail,
— — - j =: o. Or si Ton diDTérentie la relation (43)
par rapport à y, en n'écrivant pas les termes qui s'annulent à l'origine, il vient
/dF,\ /à^\ ^/^Pi\ (^l) ^o ce qu'on peut encore écrire
\ dz Jo \ àx /o
Des relations analogues à la relation (43) on tirerait de la même façon deux autres conditions qui se déduisent de la condition (44) en permutant circulairement x^y^ z et les indices i, 2, 3,
\dydz/o \dzâx/o \dzôx/o \dx dy ) ^
(45) .^^.^, ! j^^r\ — = o> ^Au X » 7^^-\ — = 0-
\dx
De ces conditions (44) ^^ (4^) on déduit immédiatement
^ /o \ ày /o \ày Jo \ as /
[àxdyjo"^' \dydz)o~^' [dzdx/o"^'
d'où résulte le théorème énoncé.
Un exemple bien remarquable de système triple orthogonal est fourni par les surfaces homofocales du second degré (n° 147), dont l'étude a sans doute conduit Dupin au théorème général. Il résulte de ce théorème que les lignes de courbure d'un ellipsoïde ou d'un hyperboloïde (qui avaient déjà élé obtenues par Monge) sont les courbes d'intersection de cette surface et des surfaces du second degré homofocales à celle-là.
Les paraboloïdes représentés par l'équation
p — X q — X où X est un paramètre variable, forment aussi un système triple
m. — LIGNES DE COURBURE. Sqi
orlhogonal, ce qui nous donne les lignes de courbure du paraboloïde. Citons encore le syslème triple rencontré plus haut (n° 246)
La recherche des systèmes triples orthogonaux est un des problèmes les plus intéressants et les plus difficiles de la Géométrie infinitésimale. Il a fait l'objet d'un grand nombre de Mémoires dont on trouvera les résultats résumés dans un récent Ouvrage de M. Darboux (*). Une surface quelconque S appartient à une infinité de systèmes triples orthogonaux; Tun de ces systèmes est formé par les surfaces parallèles à S et par les deux familles de surfaces développables engendrées par les normales à S le long des lignes de courbure de cette surface. Soient, en effet, O un point quelconque de la normale MN à la surface S au point M, MT et MT' les tangentes aux deux lignes de courbure C, G passant en M. La surface parallèle à S qui passe au point O a son plan tangent parallèle au plan tangent en M à S ; les surfaces développables engendrées par les normales le long de la courbe C ou de la courbe C ont pour plans tangents les plans NMT et NMT' respectivement. Ces trois plans sont bien orthogonaux deux à deux.
De tout système triple orthogonal on peut déduire une infinité d'autres systèmes analogues, au moyen de la transformation par rayons vecteurs réciproques, puisque cette transformation conserve les angles. Puisque toute surface, nous venons de le voir, fait partie d'un système triple orthogonal, on en conclut, ce qu'il est aisé de vérifier, que, dans toute transformation par rayons vecteurs réciproques, les lignes de courbure de la surface transformée sont les transformées des lignes de courbure de la surface primitive.
252. Application à quelques classes de surfaces. — On s'est proposé un grand nombre de problèmes sur la dclermination des surfaces dont les lignes de courbure satisfont à des conditions géométriques données à l'avance. Nous indiquerons quelques-uns des résultats les plus simples.
Cherchons d'abord toutes les surfaces dont les lignes de courbure de l'un des systèmes sont des cercles. D'après le théorème de Joachimsthal, le plan du cercle doit couper la surface sous un angle constant; il s'ensuit
( * ) Leçons sur les systèmes orthogonaux et les coordonnées curvilignes ; 1898.
5gi CHAPITRE XII. — SURFACES.
que les normales à la surface en tous les points du cercle G doivent rencontrer Vdi\e du cercle (c'est-à-dire la perpendiculaire élevée par son centre sur le plan du cercle ), en un même point 0. La sphère décrite du point 0 comme centre et passant par G est tangente à la surface tout le long de G; la surface considérée est donc l'enveloppe d'une sphère dépendant d'an paramètre variable. Inversement, toute surface enveloppe de sphères répond à la question, car les caractéristiques, qui sont des cercles, forment évidemment une première famille de lignes de courbure.
Les surfaces de révolution sont évidemment un cas particulier. Un autre cas intéressant est celui des sur/aces canaux, ou surfaces enveloppes d'une sphère de rayon constant R dont le centre décrit une courbe arbitraire r. Les caractéristiques sont les cercles de rayon R dont le centre décrit r et dont le plan reste normal à F. Les normales à la surface sont aussi normales à la courbe F; on obtiendra donc les lignes de courbure du second système en prenant les traces sur la surface des développables engendrées par les normales à F.
Si les deux systèmes de lignes de courbure d'une surface sont des cercles, cette surface peut, d'après cela, être considérée de deux manières différentes comme l'enveloppe d'une sphère dépendant d'un paramètre variable. Soient Si, Si, S3 trois sphères quelconques du même système^ Ci, G], Gs les caractéristiques correspondantes, et Mi, Mi, Mg les points de rencontre de Gi, Gj, Cj avec une ligne de courbure G' du second système. La sphère S' tangente à la surface en tous les points du cercle G' est aussi tangente aux trois sphères Si, Sj, Ss aux points Mi, Mj, M3; de sorte que la sur/ace cherchée est l'enueloppe d*une sphère variable qui reste tangente à trois sphères fixes. Cette surface bien connue est la cyelide de Dupin, M. Mannheim a démontré d'une façon élégante qu'elle était la transformée d'un tore par rayons vecteurs réciproques. Soit y '^ cercle orthogonal aux trois sphères Si, S}, S3; si l'on effectue une transformation par rayons vecteurs réciproques en prenant pour pôle un point de y, ce cercle se change en une ligne droite 00', et les sphères S], St, S3 se changent respectivement en trois sphères Si, Sj, £3 orthogonales à la ligne droite 00', ayant par conséquent leurs centres sur cette droite. Soient Cl, G], C3 les sections de ces sphères par un plan passant par 00', C un cercle tangent à Gj, C',, G3, et £' la sphère admettant G' pour grand cercle. 11 est clair que, dans un mouvement de rotation autour de 00', la sphère 2' reste tangente aux trois sphères Si, 2j, 23, et l'enveloppe de £' est le tore ayant pour méridienne le cercle G'.
Proposons-nous encore de déterminer les surfaces dont les lignes de courbure de l'un des systèmes sont des courbes planes situées dans des plans parallèles. Prenons pour plan des xy un plan parallèle aux plans des lignes de courbure, et soit
a7C0sa -h^sina= F(a, 3)
l'équation tangentielle de la section plane faite dans la surface par un plan
