IV. — NOTIONS SUR LES STSTÂMBS DB DROITES. 5g

n'y b\ /?', q' étant les dérivées de a, 6, p^ q par rapport à u. En remplaçant x par az-\-p,y par bz + q, et développant le déterminanty cette équation s'écrit

Nous voyons d*abord que ce plan passe constamment par la génératrice G, ce qui était évident a priori, et en outre que ce plan tourne autour de la génératrice lorsque le point de contact décrit

cette droite, à moins que la fraction j-, —, ne soit indépendante

de Zj c'est-à-dire à moins que l'on n'ait a'q' — b^p'= o, cas que nous écarterons tout d'abord. La fraction précédente étant du premier degré en Zy tout plan passant par la génératrice est tangent à la surface en un point de cette génératrice, et en un seul. Lorsque le point de contact s'éloigne indéfiniment sur la génératrice, le plan tangent tend vers un plan limite P', qu'on appelle le plan tangent au point à l'infini sur la génératrice et qui est représenté par l'équation

(5o) 6'(X — aZ— /?)-a'(Y — ^Z — y) = o.

Soit (0 l'angle de ce plan P' avec le plan tangent au point (x, y^z) de la génératrice. Les paramètres directeurs des normales à ces deux plans sont respectivement b', — a', a'b — ab' et b' z -{- q\

— {a' z +/>'), b{a' z -\- p') — a{b' z + q'); on a donc

^l,'ç'^a'p''^(ab' — ba)(aç'^bp')\

COS(i) =

-^'iz[b'q'-ha'p'-h{ab' — ba'){aq'-'bp')]-hq'^'+-p'*-h{ag'—bp')^ et Ton en tire, par un calcul facile,

. (a'fj'^l,'p'))/i-^a^-^b*

(51) tango)- ^^j,,^^.,^^^^,__^^,^,j.^^.^.^^y^^^^,__^,^^^^^.^y)

Le plan tangent est perpendiculaire au plan P' en un point 0| de la génératrice dont la coordonnée ^i est donnée par la formule

__ a' p' ^ b' g' -\- {ab' -- ba')(aq' - bp') ^ ^^^^ '**" a't^b'^-^iab'—ba')^ '

ce point O^ est appelé point central de la génératrice, et le plan

5ç)6 CHAPITRE XII. — SUBFÀCES.

tangent en ce point est le plan central P. L'angle Q que fait le plan tangent en un autre point de la génératrice avec le plan central est égal à ; ca, et la formule (5i) peut être remplacée par

la suivante

langQ = ; ^^=rr •

Soit p la distance du point central au point de contact M du plan tangent, précédée du signe -|- ou du signe — , suivant que la direction 0|M fait un angle aigu avec Oz ou un angle obtus. On a

0 = (5 — Zi)^i-\- a- -h O'^y et l'on peut encore écrire la formule précédente

(53) lange = X:p,

en posant

le facteur k est ie paramètre de distribution, La formule (53) est l'expression, sous une forme très simple, de la loi suivant laquelle le plan tangent tourne autour de la génératrice. Cette formule ne renferme que des éléments ayant une signification géométrique; nous verrons en effet, un peu plus loin, comment on peut définir directement le paramètre k. Cette formule (53) présente cependant quelque ambiguïté, parce qu'on ne voit pas tout de suite dans quel sens on doit compter l'angle 0. Autrement dit, on ne sait pas a priori comment tourne le plan tangent autour de la génératrice, lorsque le point de contact se déplace. Ce sens de rotation est donné précisément par le signe de k.

Pour bien saisir ce point, imaginons un observateur couché sur la génératrice G : lorsque le point de contact se déplace en marchant des pieds vers la tôte, cet observateur voit le plan tangent tourner de sa gauche vers sa droite ou de sa droite vers sa gauche. Il suffit d'un peu de réflexion pour reconnaître que le sens de rotation ainsi défini reste le même lorsque l'observateur se retourne sur la génératrice de façon à avoir la tête où il avait les pieds et inversement. Deux paraboloïdes hyperboliques ayant une génératrice commune, et symétriques par rapport à un plan passant par