IV. — NOTIONS SUR LES SYSTEMES DE DROITES

cette génératrice, donnent une idée nette de ces deux dispositions. Gela posé, imaginons qu'on déplace d'une façon continue le trièdre des axes de coordonnées de façon à amener Torigine au point central O4 , Taxe des z venant coïncider avec la génératrice et le plan des xz avec le plan central. Il est clair que Texpression (54) du paramètre de distribution conserve une valeur constante, et la formule (53) devient, dans le nouveau sjslème d'axes,

(53 bis) tango = kz^

Q désignant Tangle du plan tangent avec le plan ^ = o compté dans un sens convenable.

Pour la valeur 2/0 du paramètre qui correspond à l'axe Oz, on doit avoir a = è=/? = 5r = o, et l'équation du plan tangent (49)

se réduit ici à

Pour que l'origine soit le point central et le plan des xz le

plan central, il faut que l'on ait a^= o, ^'= o, et l'équation du

h' z % plan tangent devient Y=— ^-X, tandis que la formule (54)

donne Ar= >• On voit donc que, dans la formule (53 bis)^ on

doit compter l'angle 8 de Oy vers O j?. Si le trièdre des axes a la disposition adoptée plus haut (n° 228), un observateur couché sur Oz verra le plan tangent tourner de gauche à droite si k est positif, et de droite à gauche si k est négatif.

On appelle ligne de striction d'une surface réglée le lieu des points centraux des diflPérentes génératrices. Les coordonnées d'un point de cette ligne en fonction du paramètre u sont données par les équations (48) et (52).

Remarque. — Si l'on a, pour la génératrice considérée, a* q' = 6'/?', le plan tangent reste le même tout le long de la génératrice. Lorsque cette relation est vérifiée pour toutes les valeurs de u^ la surface réglée est développable (n*^ 223), et il est facile de retrouver les résultats déjà établis. En effet, si a et 6' ne sont pas nuls en même temps, le plan tangent est le même en tous les

points de G, et devient indéterminé pour le points; = — — = — ^7»

c'est-à-dire pour le point de contact de la génératrice avec son

enveloppe. En tenant compte de la relation a'ç' — b'p'=Oj on vérifie aisément que la valeur de z^ donnée par la formule (62) est identique à la précédente. La ligne de striction se confond avec l'arête de rebroussement; quant au paramètre de distribution, il est infini.

Si a'= i'= o, la surface est un cylindre; le point central est indéterminé.

254. Le point central et le paramètre de distribution peuvent être définis d'une autre façon. Considérons, en même temps que la génératrice G, une génératrice voisine G|, correspondant à la valeur u + A du paramètre, et représentée par les équations

(55) ar =(a-f- Aa)^-i-/?-h A/), y =z(b -h ^b)z -h q -\- Iq.

Soient 8 la plus courte distance des deux droites G et G4, a Pangle de ces droites et X, Y, Z les coordonnées du point de rencontre de G avec la perpendiculaire commune. Des formules bien connues de Géométrie analytique nous donnent

__ AaA^ -h lb\p -f-(aA6 — bla)[(a H- ùka)\g — (b -{- ^b)^p]

'■ (Aâr)«-f-(A6)»-h(aA6 — 6Aa)« '

Aa A^

Iblp

-h(aA6-

-6Aa)»

Aa )«-+-(

A6 — 6Aa)«

sina=

\/a'-l- b^-+- 1 /(« -+- Aa)*-{- (6 -h A6)*-t- i

Lorsque h tend vers zéro, Z a pour limite l'expression trouvée plus haut pour z^^ tandis que — k— a pour limite A*. Le point central est donc la position limite du pied de la perpendiculaire commune à G et à une génératrice infiniment voisine, tandis que le

paramètre de distribution est la limite du rapport — ^•

Remplaçons dans l'expression de 8, Aa, Aè, Ap, Ag par leurs développements suivant les puissances de A,

Aa = Aa'n a"-!-. ...

et de même pour Afe, A/>, Ay; on a, pour le développement du