IV. — NOTIONS SUR LES STSTÂMBS DE DROITES. 60I

que, diaprés la définition même de la courbe F, la tangente à cette courbe en un point quelconque a appartient à la congruence, et que le point a est un de ses points focaux. Toute droite de la congruence est tangente aux deux nappes 2, 2', puisque cette droite est tangente à deux courbes situées respectivement sur ces deux nappes.

Il est facile, en reprenant un raisonnement déjà employé (n^247) de trouver les plans tangents en A et A' aux surfaces S et S' i^fig» 5 1 ). Imaginons, par exemple, que la droite G se déplace en restant tangente à F; cette droite reste aussi tangente à la surface S', et son point de contact A' avec cette nappe décrit une courbe ^ qui est nécessairement distincte de la courbe F'. La surface développable engendrée par G est donc tangente en A' à S', puisque les deux plans tangents ont en commun la droite G et la tangente à y^. Il s'ensuit que le plan tangent en A' à H est précisément le plan osculateur à la courbe F au point A. On verrait de même que le plan tangent en A à S est le plan osculateur en A' à la courbe F'. Ces deux plans sont appelés plans focaux.

Il peut arriver que Tune des nappes de la surface focale se réduise à une courbe G. Les droites de la congruence restent alors tangentes à la nappe S et rencontrent la courbe G; l'une des familles de développables se compose des cônes circonscrits à la surface S, ayant pour sommets les différents points de C. Si les deux nappes de la surface focale se réduisent à deux courbes G, G', les deux familles de développables sont formées par les cônes ayant leurs sommets sur Fune des courbes et passant par l'autre courbe. Lorsque les deux courbes G, G' sont des lignes droites, ou a une congruence linéaire.

2o6. Congruences de normales. — Les normales à une surface forment évidemment une congruence, mais la réciproque n'est pas vraie : il n'existe pas toujours de surface normale à toutes les droites d'une congruence. En effet, si l'on considère la congruence formée par les normales à une surface S, les deux nappes de la surface focale sont précisément les deux nappes S, S' de la développée de S (n** 247), et nous avons vu qu'aux deux points de contact A, A' de la normale avec les deux nappes les plans tangents étaient rectangulaires. Gette propriété caractérise les con-

gruences de normales. Cherchons en effet la condition pour que la droite (56) reste normale à une surface; il faut et il suffit pour cela qu'il existe une fonction /(a, P) telle que la surface S représentée par les équations

(60) x = az-\-p, y = bz-^q, - =/(3t, p)

ait précisément pour normale la droite G elle-même. Il faut pour

cela que Ton ait

dx .dy <^- __

dx , dy àz

ces conditions deviennent, en remplaçant x par a2+/>, j^ par bz 4- Çj et en divisant par ^a^ +6^4-1,

dp . ùq dp dq

Pour qu'elles soient compatibles, il faut et il suffit que Ton ait

ce -^ ^ ( '^^ —

si cette condition est vérifiée, les équations (61) donneront z par une quadrature. Les surfaces obtenues dépendent d'une constante introduite par l'intégration, et forment une famille de surfaces parallèles.

Pour avoir la signification géométrique de la condition (62), remarquons que, d'après sa nature même, cette relation est indépendante du choix des axes de coordonnées, et des variables indépendantes. Imaginons que l'on ait pris pour axe des z une droite de la congruence, et pour paramètres a et ^ les coordonnées du point de rencontre d'une droite quelconque de la congruence avec le plan 5 = 0. On a /> = a, </ = P, tandis que a et 6 sont des fonctions des variables a et p, s'annulant pour a = ^ = 0. La condition d'intégrabilité se réduit à -70 = t- pour les valeurs a = o,