Congruences. Surface focale. — Tout ensemble de droites

(56) X = az -hPf y =z bz-^ q^

a, 6, /?, q dépendant de deux paramèti*es variables a, ^, est appelé congruence de droites. Par un point de l'espace, il passe en général un certain nombre de droites de la congruence, car on a deux équations pour déterminer a et ^, si l'on suppose x, y^ z connues. Si l*on établit une relation entre les paramètres a et ^, la droite G représentée par les équations (56) engendre une surface réglée qui n*est pas en général une surface développable. Pour que cette surface soit développable, il faudra que l'on ait

da dq — db dp — o, ou en remplaçant da par t" <^* + 70 ^?> • • •

ida

d% De cette équation du second degré en -^i on tire deux valeurs.

en général distinctes, pour -^>

Sous des conditions très générales qui seront précisées plus tard et que nous supposerons remplies, chacune de ces équations est vérifiée par une infinité de fonctions de a; chacune d'elles admet une intégrale, et une seule, prenant la valeur ^0 pour a = ao. Toute droite G de la congruence appartient donc à deux surfaces développables, dont toutes les génératrices sont également des droites de la congruence. Soient F et F' les arêtes de rebroussement de ces deux développables, A et A' les points de contact de G avec F et F' respectivement. Ces deux points A et A' s'appellent les points focaux de la génératrice. On les obtient comme il suit, sans qu'il soit nécessaire d'avoir intégré Féquation (57). qui donne les développables de la congruence. La coordonnée z de Fun de ces points doit satisfaire à la fois aux deux relations

z da -{- dp = Oy z dô -h dq = o, ou, en remplaçant da^ db^ dp^ dq par leurs développements,

Ksï ''^ -^ S ''P) "^ S ''« -^ sf ''P = "•

En éliminant z entre ces deux relations, on retrouve Féquation (57), mais, si l'on élimine le rapport ^» on obtient une équation du second degré qui détermine les deux points focaux

.. . / àa dp\/ db dq\ / da dp\ f db dq\

Le lieu des points focaux A, A' se compose de deux nappes de surfaces 2, ^' dont on obtiendrait Féquation en éliminant a et ^ entre (56) et (Sg). Ces deux nappes ne sont pas d'ailleurs analytiquement distinctes en général, mais constituent deux nappes d'une même surface. Ce sont les deux nappes de la sur/ace focale. Cette surface focale est aussi le lieu des arêtes de rebroussement des développables de la congruence. 11 est clair en effet