IV. — NOTIONS SUR LES STSTÉMBS DE DROITES. 6o

et projeter ensuite cette projection sur MTt, ce qui donne la relation

cosç = sinicosb)

et Ton a de même cos«p'= sinrcosco. Gela étant, appliquons la formule (lo)' (n° 82), qui donne la différentielle d'un segment de droite aux deux segments M m, M/n'; on a

dl =z — d^ cosoi) sini

dr = — dcj cos 0) sin r — ds' cos 6,

en appelant 0 l'angle de m' M avec la tangente à la courbe G'. On déduit de là, en remplaçant dl' par kdl, la relation

coso) d(^(kslni — sinr) = ds' cos%,

qui devient, en supposant k = n, ds'cos^ ^= o. Le rayon Mm' est donc normal à la courbe G', et, comme G' est une courbe quelconque de la surface S', il s'ensuit que le rayon réfracté est précisément la normale à la surface S', Gette surface S' s'appelle V anticaustique ou la caustique secondaire. Il est clair qu'elle est l'enveloppe de la sphère décrite du point M comme centre avec un rayon égal à n fois la longueur Mm, et le résultat obtenu peut s'énoncer ainsi :

Si les rayons incidents sont normaux à une surface S, considérons cette surface comme l'enveloppe de sphères ayant leurs centres sur la surface dirimante 2. Pour obtenir V anticaustique relative aux rayons réfractés^ il faut prendre l'enveloppe de toutes les sphères que Von obtient en réduisant le rayon des précédentes dans le rapport de l* unité à l'indice de réfraction.

Cette enveloppe se compose de deux nappes, correspondant à des valeurs de l'indice de réfraction égales et de signes contraires. Il sera impossible en général de séparer analytiquement ces deux nappes.

258. Complexes. — Un complexe de droites est formé par l'ensemble des droites qui dépendent de trois paramètres variables. Soient

(64) X = az -hp, y = bz-^qy

les équations d'une droite; tout complexe de droites est défini par une certaine relation entre a, 6, />, q

(65) Fia, b,p, <7) = o,

et inversement. Si F est un polynôme entier en a, b, p, q, le complexe est algébrique. Les droites du complexe passant par un point donné (^oi J^o> ^o) forment un cône ayant ce point pour sommet, dont on obtiendra l'équation en éliminant a, 6, />, q entre les relations (64), (65)

6o6 CHAPITRE XII. — SURFACES.

et (66)

(66) Xo = azo-^p, yo = àzo-^q;

réquation du cône du complexe est donc

(6,) F (%=^ , y--^-^, !iLiiz£f.», y^inJL'A ^ „.

\ Z — ^0 Z — Z^ Z — Zq Z ^ Zq /

De même dans chaque plan il y a une infinité de droites appartenant au complexe; ces droites enveloppent une courbe appelée courbe du complexe. Si le complexe est algébrique, l'ordre du cône du complexe est égal à la classe de la courbe du complexe. Supposons en effet que l'on veuille avoir les droites du complexe passant par un point donné A et situées dans un plan P passant par ce point. On peut pour cela procéder de deux façons : on peut couper par le plan P le cône du complexe ayant son sommet en A, ou mener par le point A les tangentes à la courbe du complexe située dans le plan P. Gomme on doit trouver le même nombre de droites, il en résulte l'exactitude du théorème énoncé.

Si le cône du complexe se réduit à un plan, le complexe est dit linéaire et l'équation (65) est de la forme

(68) Aa-^Bb-^Cp-^Dq-hE(aq-^bp)-h F =o;

le lieu des droites du complexe qui passent par un point Xq, ^o, ^o est le plan représenté par l'équation

i A(a: — :fo)-+- Bf^r — Jo) + C(^-o;5--;!ot) ^ ( -hD(7o5 — ^or)-*-E(ro^ — ^-07)4- F('5 — -o) = o.

La courbe du complexe, devant être de classe un, se réduit à un point, c'est-à-dire que toutes les droites du complexe situées dans un plan passent par un point de ce plan, appelé pôle ou foyer. Un complexe linéaire établit donc une liaison entre les points et les plans dans l'espace, de telle façon qu'à un point correspond un plan passant par ce point, et à un plan correspond un point situé dans le plan. Il y a aussi une correspondance entre les droites de l'espace. Soit D une droite n'appartenant pas au complexe; soient F et F' les foyers de deux plans passant par cette droite, et A la droite qui les joint. Tout plan passant par A a pour foyer le point ç où il rencontre la droite D, car les droites <pF, çF' font évidemment partie du complexe. Il en résulte que toute droite rencontrant D et A fait partie du complexe, et enfin que le foyer d'un plan passant par.D est le point de rencontre de ce plan avec la droite A. Les deux droites D et A sont dites droites conjuguées; chacune d'elles est le lieu des foyers des plans passant par l'autre.

Si la droite D s'en va à l'infini, les plans passant par D deviennent parallèles, et Ton voit que le lieu des foyers des plans parallèles à un plan fixe est une droite. Il existe toujours un plan tel que le Heu des foyers des plans parallèles soit une droite perpendiculaire à ce plan. Si