IV. — NOTIONS SUR LES ST8TÈMBS DE DROITES
Ton a pris cette droite pour axe des Zj le plan qui a pour foyer un point quelconque de 0^ doit être parallèle au plan z = o. D'après Téquation (69), il faut et il suffit pour cela que Ton aitA = B = G = D = o; Téquation du complexe prend la forme simple
(70) aq — 6/? -H K = o,
et le plan dont le foyer est au point (x, y^ z) a pour équation
(7i) X^ — Yar+K(Z-;;) = o,
X, Y, Z étant les coordonnées courantes.
Gomme application, cherchons les courbes dont les tangentes font partie du complexe précédent. Étant donnée une courbe de cette espèce, dont les coordonnées rr, y^ z sont fonctions d'un paramètre variable, la tangente en un point de cette courbe est représentée par les équations
X — a? Y— 7 Z — j dx ~' dy "" dz '
pour que cette droite fasse partie du complexe, il faut et il suffit qu'elle soit située dans le plan (71), qui a pour foyer le point (ar, y y z), c'està-dire que l'on ait
( 72 ) X dy — y dx = \idz.
On a vu plus haut (n^ 218) comment on pouvait obtenir toutes les fonctions x^ y y z d'un paramètre variable satisfaisant à cette relation; on a donc toutes les courbes répondant à la question.
Les résultats obtenus au n** 218 s'énoncent aisément dans la théorie des complexes. Ainsi, en difTérentiant l'équation (72), il vient
(73) X d^y—yd^x = K d^z,
et les relations (72) et (78) montrent que le plan osculateur au point (ar,j^,^) est précisément le plan (71). On peut donc énoncer la proposition suivante : Lorsque les tangentes à une courbe gauche appartiennent à un complexe linéaire, le plan osculateur en un point de cette courbe est le plan qui a ce point pour foyer, (Appell.)
Imaginons que d'un point O de l'espace on veuille mener des plans osculateurs à une courbe gauche F dont les tangentes font partie d'un complexe linéaire. Soit M le point de contact d'un de ces plans. D'après le théorème précédent, la droite MO est une droite du complexe et par suite le point M est dans le plan qui a pour foyer ce point O. Inversement, si le point M de la courbe F est dans ce plan, la droite MO, qui appartient au complexe, est dans le plan osculateuV en M, et ce plan osculateur passe au point O. Les points cherchés sont donc à l'intersection de la courbe F et du plan qui a le point O pour foyer {cf, n** 218).
6o8 CHAPITRE XII. — SURFACES.
Les complexes linéaires se présentent dans un grand nombre de théories géométriques et mécaniques [voir, par exemple, la Thèse de Doctorat de M. Appell et celle de M. Picard (')].
1. Trouver les lignes de courbure de la surface développable, enveloppe du plan mobile représenté en coordonnées rectangulaires par Téquation
z = OL X -h y ^ (ol) -h R /i -*- a* H- ç-(a),
où a est un paramétre variable, cp(a) une fonction arbitraire de ce paramètre et R une constante donnée.
[Licence : Paris; août 1871.]
2. a, bj a, ^ étant des fonctions d'un paramètre variable, on demande les conditions pour que la droite x = az -Ha, ^ = 63-i-p engendre une surface développable dont les lignes de courbure normales aux génératrices soient situées sur des sphères concentriques.
[Licence : Paris; juillet 1872.]
3. Déterminer les lignes de courbure de la surface représentée, en coordonnées rectangulaires, par Téquation
c= = cos^ cosj^.
[Licence : Paris; juillet 1875.]
A. Étant donné un ellipsoïde à trois axes inégaux, représenté en coordonnées rectangulaires par Téquation
X* yî 5!
on considère Tellipse Ë située dans le plan des xz. On demande, pour chaque point M de cette ellipse E : i** les expressions des rayons de courbure principaux Ri, R] de Tellipsoïde; 2^ la relation qui existe entre Ri et R]; 3° le lieu des centres de courbure des sections principales, lorsque le point M se déplace sur l'ellipse Ë.
[Licence : Paris; novembre 1877.]
5. Former l'équation du second degré qui donne les rayons de courbure principaux en un point quelconque du paraboloïde défini, en coordonnées
(') Annales scientifiques de l'École Normale supérieure: 1876 et 1877.
rectangulaires, par l'équation
2" Exprimer, en fonction de la variable z, chacun des deux rayons de courbure principaux, pour tout point de la ligne de rencontre du paraboloïde proposé avec le paraboloïde défini par Téquation
[LicBNXE : Paris; novembre 1880.]
6. Déterminer le lieu des centres de courbure des sections principales du paraboloïde xy = azy aux différents points de Taxe 0^7.
[Licence : Paris; juillet i883.]
7. Trouver l'équation de la surface, lieu des centres de courbure des sections planes d'une surface donnée S, passant en un point donné M de cette surface.
8. On donne une surface du second degré et une tangente MT en un point M de cette surface. On mène un plan passant par MT, et l'on prend le centre de courbure O de la section plane, puis le centre de courbure O' de la développée de la section plane. Trouver le lieu du point O' lorsque le plan sécant tourne autour de MT.
[Licence : Clermont; juillet i883.]
9. Déterminer les lignes asymptotiques du tore engendré par un cercle tournant autour d'une de ses tangentes.
[Licence : Paris; novembre 1882.]
10. Soient Or, Oy^ Oz trois axes de coordonnées rectangulaires et dans le plan zOx une courbe donnée G. Une surface est engendrée par une circonférence dont le plan reste parallèle au plan xOy, dont le centre décrit la courbe G et qui rencontre constamment l'axe 0^.
On demande de former l'équation différentielle des lignes asymptotiques de la surface en prenant pour variables la coordonnée z d'un point quelconque et l'angle 0 du rayon du cercle qui passe en ce point avec la trace du plan du cercle sur le plan zOx. Appliquer au cas où la courbe G est une parabole ayant le point O pour sommet et la droite Ox pour axe.
[Licence : Paris; juillet 1880.J
11. Déterminer les lignes asymptotiques d'une surface réglée, qui est tangente à une autre surface réglée en tous les points d'une génératrice A de la seconde surface, toutes les génératrices de la première surface rencontrant la droite A.
6lO CHAPITRE XII. — SURFACES.
12. Trouver sur l'hélicoïde droit les lignes dont le plan osculateur contient la normale à la surface.
[Licence : Paris; juillet 1876.]
13. On demande les lignes asymptotiques de la surface réglée représentée par les équations
X = {i-i- u)cosVj y = {i — a)sint', z = u.
[Licence : Nancy; novembre 1900.]
14*. Étant données une surface S et une droite A, les sections de la surface par des plans menés par la droite A, et les courbes de contact des cônes circonscrits à S ayant leurs sommets sur A, forment un réseau conjugué.
[Kgenigs.]
15*. Lorsque trois points d'une droite invariable décrivent trois plans
rectangulaires, la droite demeure constamment normale à une famille de
surfaces parallèles. On obtient l'une de ces surfaces en prenant le lieu du
milieu du segment formé par le point où cette droite coupe l'un des plans
coordonnés et par le pied de la perpendiculaire abaissée de l'origine sur
la droite.
[Darroux, Comptes rendus, t. XCII, p. 44^; 1881.]
16*. Sur toute surface, on connaît une ligne de courbure imaginaire : c'est le lieu des points pour lesquels on a i -h/?*-f- q* = o.
On montre pour cela que l'équation différentielle des lignes de courbure peut être mise sous la forme
(dp dy — dq dx)(i -+-/?•-»- q*) -h (p dy — q dx){p dp -h q dq) = o.
[DarbouXi Annales de l'École normale; i864-l
FIN DU tome 1.
