I. — FORMULE ET SÉRIE DE TAYLOR. — GÉNÉRALITÉS. I

port à k.

Si dans le second membre on remplace k par

et qu*on ordonne le résultat par rapport aux puissances croissantes de h, il est évident que les termes négligés n'auraient aucune influence sur les coefficients des termes en A, A', . . . , h'K Le coefficient de A«, par exemple, sera donc égal à la dérivée n»'''"*de/[ç(a7)], divisée par le facteur 1.2... n, ce qu'on peut écrire

D"i/[?(:p)]j = [a,/'(«) + A, 'Çj^ +...+ •^-Al/('.)(«)J, .,...„, A/ désignant le coefficient de A" dans le développement de

Pour plus de détails sur cette méthode, je renverrai le lecteur au Cours d'Analyse de M. Hermite (p. 69).

47. Formes indéterminées. — Soient /(:r) et ^{x) deux foncilons s^annulant pour une même valeur de la variable x =^ a\ la recherche de la limite vers laquelle tend le rapport

fia-^ h)

lorsque h tend vers zéro n'est qu'un cas particulier du problème qui consiste à trouver la limite du rapport de deux infiniment petits. Cette limite s'obtient immédiatement si l'on connaît la partie principale de chacun de ces infiniment petits, ce qui est précisément le cas lorsque la formule (3) est applicable à chacune des fonctions y(jr) et ^{x) dans le voisinage du point a. Supposons que la première dérivée de./{x) qui n'est pas nulle pour^ = a est la dérivée d'ordre /?, y ^/^^ (a), et de même que la première dérivée de ©(^), qui n'est pas nulle pour x = a^ est la dérivée d'ordre q^ ^'^- (a). On peut écrire, en appliquant la formule (3) à chacune des fonctions y (j;), ©(-r), et divisant les résultats,

fia-^à) ^ ^^^^ 1,1.. .g /(/>)(a)-f-c^ o{a-\-h) 1.2.../? çp'^^(rt) -H »'

que celui que donnerait la formule de Taylor en y faisant a = o, h = X.

Voici un autre exemple où les exposants ne sont pas nécessairement des nombres entiers. Soit

A:r«-HB:r?-hC.rY J ---

1 ■+- Bi x^x -h Cl arYi -h . . .

a, P, Y, ... et Pi, y,, ... formant deux suites de nombres positifs croissants, et le coefficient A n'étant pas nul; il est clair que la partie principale dey est Ax", et l'on a

B j:P -u C .rr -h . . . — A .ra( Bi r?. -+- C, arY. -f- . . . )

y — Ax^ =

i-+-B,irPi-hCia?Yt

expression de même forme que la première, dont on obtiendra la partie principale en prenant le terme du degré le moins élevé au numérateur. Il est clair que le même procédé fournira autant de termes que Ton voudra du développement.

Soiif{x) une fonction admettant des dérivées jusqu'à l'ordre n -i-i;on a, en changeant a en j: dans la formule (3),

t tendant vers zéro avec h. Supposons, d'autre part, que par un moyen quelconque on ait obtenu pour /(a; -f- h) une expression de même forme

f{x -i- h) =/{x) -+- Ao, (x) -I- A»<p2(a?) -h. . .-h h^[On{:v) -h e'];

les deux développements de f(x-\-h) doivent être identiques terme à terme, de sorte que les fonctions oj, «pj, . . ., 0,4 sont égales, à des facteurs numériques près, aux dérivées successives de /(a*),

r(T) f^'^ux)

Celte remarque est quelquefois utile pour calculer les dérivées de certaines fondions. Soit, par exemple, à calculer la dérivée n}*^^ d'une fonction de fonction

on a, en négligeant les termes d'ordre supérieur à n, par rapport à A,

et de même, en négligeant les termes d'ordre supérieur à n, par rap-