I. — FONCTIONS d'une VARIABLE. 1 I

La formule (i) est susceptible d'une interprétation géométrique simple. Représentons^nous, en effet, l'arc de courbe AMB qui figure la marche de la fonction y=^f{^x) dans Tintervalle (a, 6);

^-^__ est le coefficient angulaire de la corde AB, tandis

quey'(c) est le coefficient angulaire de la tangente en un point C d'abscisse c de l'arc AMB. La formule (i) exprime donc qu'^V existe sur l'arc AMB un point C où la tangente est parallèle à la corde AB.

Lorsque la dérivée /'(j?) est continue, si l'on fait tendre a et 6 vers une limite commune Xq, suivant une loi quelconque, le nombre c, compris entre a et 6, tend aussi vers Xq, et la formule (i) nous montre que le rapport

a pour limite /'(xo). Voici quelle est l'interprétation géométrique : sur la courbe ^=/(^), considérons le point M d'abscisse Xq et

les deux points A et B d'abscisses a et 6. Le rapport ■ l__ — -

est égal au coefficient angulaire de la corde AB, tandis que/'(j:o) représente le coefficient angulaire de la tangente au point M. On voit donc que, lorsque les deux points A et B se rapprochent indéfiniment du point M suivant une loi quelconque, la sécante AB a pour limite la tangente au point M.

Il n'en est plus de même, en général, lorsque la dérivée /'(x)

n'est pas continue. Par exemple, si l'on prend sur la courbe jk = ^' deux points infiniment voisins de l'origine, de part et d'autre de Taxe Oy^ il est évident sur la figure que la direction de la droite qui joint ces deux points reste absolument indéterminée lorsqu'ils se rapprochent l'un et l'autre de l'origine.

9. Généralisation de la formule. — On a indiqué diverses généralisations de la formule des accroissements finis. La suivante est due à

entre a et c, et à C^^^x) entre c et b^ C, et C, étant deux constantes différentes, est continue et admet une dérivée dans l'intervalle (a, 6), et Ton a bien

pour toute valeur de x comprise dans cet intervalle. L'interprétation géométrique est facile.

M. Stieltjes {Bulletin de la Société Mathématique, t. XVI, p. loo). Considérons, pour fixer les idées, trois fonctionsy(a:), ^(ar), h{x)y continues et admettant des dérivées du premier et du second ordre, et soient a, 6, c trois valeurs particulières de la variable (a < 6 < c). Définissons le nombre A par l'égalité

et considérons la fonction auxiliaire

/(«) gi^) ^(«) f{b) g{b) h{b)

cette fonction est nulle pour rr = 6 et pour ;r = c, donc sa dérivée doit s'annuler pour une valeur X, comprise entre b et c, ce qui nous donne

I b Al

o I al^

Si l'on remplace b par x dans cette relation, on a une fonction qui est nulle pour â? = a et pour x = b. Sa dérivée est donc nulle pour une valeur Ç comprise entre a et 6, ce qui nous donne une nouvelle relation

Ha)

ra)

Enfin, si l'on remplace Ç par 27 dans le premier membre de cette égalité, on a encore une fonction de x qui s'annule pour a? = J et pour a? = Ç; sa dérivée est donc nulle pour une valeur tj comprise entre J et Ç et par conséquent entre a et c. On a donc pour A l'expression suivante

5 étant compris entre a et 6, et i\ entre a et c.

La démonstration ne suppose pas la continuité des dérivées secondes /'(^)> Sf{^)i ^'(^)» si ces dérivées secondes sont continues, et si les valeurs a, b, c tendent vers une même valeur limite x^^ on a, à la limite,

limA =

/(a?o) g(xo) h{xo) f'ixo) g'ixo) h'{xo) f\^o) g\^o) h\x,)