I. — FONCTIONS d'une VARIABLE

quelquefois de la notation Hny ou Dfi/(x), due à Cauchy, pour représenter la dérivée d'ordre n. Nous verrons un peu plus loin la notation de Leibniz.

7. Théorème de Relie. — L'emploi des dérivées dans l'étude des équations repose sur la proposition suivante, connue sous le nom de théorème de Rolle :

Soient a et b deux racines de V équation f{x) = o. Si la fonction f{x) est continue et admet une dérivée dans l^ intervalle (a, 6), l'équation f'{x) ^=o a au moins une racine comprise entre a et b.

En effet, la fonction f{x) est nulle par hypothèse pour x=^a et pour :r = 6. Si elle est constamment nulle dans l'intervalle (a, 6), il en est de même de sa dérivée et le théorème est évident. Si la fonction f{x) n'est pas constamment nulle, elle prendra soit des valeurs positives, soit des valeurs négatives. Supposons, par exemple, qu'elle prenne des valeurs positives; elle prendra alors une valeur maximum M pour une valeur x^ de x comprise entre a et b (n** 3; théorème II). Le rapport

où l'on suppose A > o, est nécessairement négatif, à moins d'être nul, et la limite de ce rapport, c'est-à-dire /'(ari), ne peut être un nombre positif; on a donc /'(oti) ^o. En considérant de même /^(Xi) comme la limite du rapport

où h est positif, on verra de la même façon que l'on doit avoir /'(a;i)^o. La comparaison de ces deux résultats prouve que l'on a nécessairementy"'(^i) = o.

8. Formule des aocroisse^ft"^^? fltilg. — On déduit sans peine de ce théorème 1 importante formule des accroissements finis :

Soit /{x) une fonction continue ayant une dérivée dans

V intervalle (a, 6); on a

(I) Ab) -- f{a) = {b -- a)f\c\

c désignant un nombre compris entre a et b.

Pour établir celte formule, considérons la fonction auxiliaire

qui, d'après les hvpothèses faites sur /{x), est continue et admet une dérivée dans Tintervalle (o, b — a). Cette fonction s'annule évidemment pour a: = o et pour x= b — a; sa dérivée ç'(^) ou

tf — a

doit donc s'annuler pour une valeur de x comprise entre o et 6 — a. La valeur correspondante de a-\-x est comprise entre a et 6, et l'on a bien l'égalité qu'il s'agissait de démontrer. On peut remarquer que la démonstration ne suppose pas la continuité de la dérivée /'(a;).

De cette formule on déduit que, si la dérivée f\x) est nulle dans Tinlervalle (a, 6), la fonction f{x) conserve une valeur constante dans cet intervalle; car l'application de la formule à deux valeurs j:i, x^^ appartenant à l'intervalle (a, 6), conduit à la relation/(^2) =f{^i)' H ^^ résulte que, si deux fonctions admettent la même dérivée, leur différence est constante, et la réciproque est évidente. Quand on connaît une /onction F(x) ayant pour dérivée une fonction donnée f{x)^ on obtient toutes les autres fonctions ayant la même dérivée en ajoutant à¥{x) une constante arbitraire (*).

(^) On applique quelquefois ce théorème sans avoir égard à toutes les conditions de l'énoncé. Soient, par exempICf /(a;) et ^(a?) deux fonctions continues, admettant des dérivées f'{x)^ ?'(^)) dans un intervalle (a, b). Si, entre ces quatre fonctions, on a la relation f'{x)^{x)—ff^x)^'{x) = o, on en conclut

que la dérivée de la fonction ^i ou ^^—^ — -^ — , — -^ — -j est nulle et par

suite que le rapport — est constant dans l'intervalle (a, 6). Mais la conclusion

n'est absolument légitime que si la fonction ^{x) ne s'annule pas dans l'intervalle (a, 6). Supposons, pour fixer les idées, que <f{x) s'annule, ainsi que ?'(^), pour une valeur c de :r comprise entre a et b. Une fonction /{x) égale à C|7(a7)