II. — POINTS SINGULIERS. ~ MAKIMA ET UINIUA

les coordonnées x^^y^^ Zq de ce point annulent les trois dérivées

du premier ordre

âF d¥ ^ .

Téquation trouvée plus haut pour le plan tangent (n°22) se réduit à une identité. Le lieu des tangentes à toutes les courbes situées sur la surface S, et passant au point Mo, est un cône du second degré, pourvu que les six dérivées partielles du second ordre ne soient pas toutes nulles au même point. Soient, en efTet,

les équations d'une courbe C située sur la surface S ; les trois fonctions/(^), <p(<), ^{t) vérifiant la relation F(^, y, z) = o^ on a entre les difierentielles du premier et du second ordre les deux relations

dF , dF ^ dF ^

—- dx -¥ -r- dy -\ — T- dz = o,

dx oy "^ oz

dF . ÔF . dF . y^' dF ., dF ., dF .,

■^- dx -^ ~r- dy -\- ^- dz ] -t- -,— d^x -+- -r- a* v -h ^- d^z = o.

dx dy -^ dz j âx dy '^ dz

Pour X = Xq, y =yQ, z = 3o, la première se réduit à une identité, et la seconde devient

-r-T dx^ -+- -r—r dy^ -h . - dz^ âxl dfl -^ àzl

-H 2 - — - — dx dy -^7. -r — — — dy dz -^ 1, -^ r— dx dz — o,

àx^dy^ àyçidZfi '^ oxqOZo

On aura le lieu des tangentes en éliminant dxy dy, dz entre cette relation et les équations de la tangente

X — Xq __ Y — Xo Z — Zq

dx ~~ dy ~ dz ce qui conduit à Féquation d'un cône (T) du second degré

D^autre part, Téquatlon de la surface S peut s^écrire, en appli-

quanl la formule générale de Tajlor et poussant le développement jusqu^aux termes du troisième ordre,

' i r d¥ dF ôF 1 (*^

(-22) ^ » r ^^/ X ^^ / ^ ^^ / nT"