POINTS SINGULIERS. — MAXIMA ET MIN IM A

sion de la forme

a élaol infiniment petit avec x — Xo> Par le point (^o> J'o) il passe donc une branche de la courbe C tangente à la droite

On verrait de la même façon qu'il passe aussi par ce point une branche de courbe tangente à la droite j^ — Jq = t2{x — Xq), Le point Mo est un point double, et Ton obtient Téquation du svstème des tangentes à ce point double en égalant à zéro Tensemble des termes du second degré en (x — x^), {y — y 0)1 dans l'équation (19).

^"^^^"^^Km^J " â^ "^ "^^^ le point (j:o,ro) est un/?om^ double isolé. A l'intérieur d'un cercle de rayon assez petit décrit du point Mo comme centre, le premier membre ¥{x^y) de l'équation (ig) ne s'annule que pour le point M,, lui-même. Posons, en effet, pour les coordonnées d'un point voisin de M©,

il vient

L ayant une valeur finie lorsque p tend vers zéro. Soit H une limite supérieure de la valeur absolue de L, lorsque p est inférieur à un nombre positif/'. Lorsque tp varie de o à 27r, le trinôme

-r— r-C0S*O -h 2 ■ COSO SlflO H" — r Sin*0

dxl ' àxoOfo ^ ' Oj'l

conserve un signe constant, puisque ses racines sont imaginaires; soit m une limite inférieure de sa valeur absolue. Pour tout point

pris à l'intérieur d'un cercle de rayon P <C ïi » ^^ ^^^ clair que le

coefficient de p* ne peut s'annuler; Téqualion F(^, y ) :=z o n'admet donc pas d'autre solution que p = o, c'est-à-dire x = x^y y =^09 à l'intérieur de ce cercle.

Lorsque l'on a

les deux tangentes au point double sont venues se confondre, et

126 CHAPITRE Ht. — FORHULB DB TAYLOR, ETC.

il j a en général deux, branches de courbe tangentes à une même droite, et formant un rebroussement. L'étude complète de ce cas exige une discussion très délicate qui sera faite plus tard. Observons seulement que la variété des cas possibles pour la forme de la courbe est beaucoup plus grande que dans les deux cas déjà examinés, comme le montrent les exemples suivants.

La courbe y^= x^ présente à Torigine un point de rebroussement àe première espèce, avec deux branches de courbe tangentes à Taxe des x^ situées de part et d'antre de cette tangente, et à droite de Oy, La courbe y"^ — ix^y + jc* — ^^ q présente un rebroussement àc seconde espèce ; les deux branches de courbe tangentes à Taxe des x sont situées du même côté de la tangente. L'équation nous donne, en effet,

et les deux valeurs de y sont de même signe lorsque x est très petit, mais ne sont réelles que si x est positif. La courbe

])résente deux branches de courbe n'offrant rien de particulier, tangentes l'une et l'autre à l'origine à l'axe des x. On tire, en effet, de cette équation

et les branches obtenues en prenant successivement les deux signes devant le radical n'ont aucune singularité à l'origine.

Il peut aussi se faire que la courbe se compose de deux branches confondues, comme c'est le cas pour la courbe représentée par

l'équation

lorsque le point (x^y) se meut dans le plan, le premier membre F(x^y) s'annule sans changer de signe.

Enfin, il peut aussi arriver que le point (^oi^o) soit un point double isolé ; c'est ce qui arrive pour la courbe j^* + x^ -^-y* = o, dont l'origine est un point double isolé.

54. Un point Mo d'une surface S représentée par l'équation F(;r, y, z) = o est de même un point singulier de cette surface si