II. — POINTS SINGULIERS. — MAXIHA ET UINIMA
le facteur L conservant une valeur finie lorsque p tend vers zéro. Puisque Téquation (21) représente un cône imaginaire, le polynôme
-r— r a* -H ... -h 2 - — T— av
OX} OXqOZo
ne peut s*annuler lorsque le point a, ^, y décrit la sphère
at -H pi -I- Y* = I ;
désignons par m une limite inférieure de la valeur absolue de ce polynôme. Soit, d'autre part, Hune limite supérieure de la valeur absolue de L dans le voisinage du point Mq. Si du point Mo comme
centre avec un rayon, moindre que „■ nous décrivons une sphère, il
est clair que le coefficient de p^ dans l'expression de F(x,y, z) ne peut s'annuler à l'intérieur de cette sphère. L'équation
n'admet donc pas d'autre solution que p = o.
Lorsque l'équation (21) représente un système de deux plans réels et distincts, il passe par le point M© deux nappes de surface dont chacune est tangente à l'un de ces plans. Certaines surfaces présentent une ligne de points doubles où le cône des tangentes se décompose en deux plans. Cette ligne -est une courbe double de la surface, suivant laquelle deux nappes distinctes se traversent mutuellement. Par exemple, le cercle représenté par les deux équations 5 = 0, x^-\~y^:= i est une ligne double de la surface qui a pour équation
^*-f- 2z^ix^-hy^) — (x^-^y^ — 1)' — o.
Lorsque l'équation (21) représente un systèitie de deux plans imaginaires conjugués ou un plan double réel, il faut dans chaque cas particulier une discussion spéciale pour étudier la forme de la surface au voisinage du point Mq. La discussion que nous venons de faire se retrouve dans l'étude des maxima et des minima.
55. Maxima et minima des fonctions ii'ane variable. — Soient /(j:) une fonction continue dans un intervalle (a, 6), etc un point de cet intervalle. La fonction /(x) est maximum ou minimum G. 9
l3o CHAPITRE III. — FORMULE DE T4TL0R, KTC.
pour X---C si l'on peut trouver un nombre positif tj assez petit pour que la différence f{c-\-K) — /(c) conserve un signe constant lorsque h varie de — tj à -t-tj. Si cette différence est positive, la fonction /(^) est plus petite pour x^=^c que pour les valeurs de x voisines de c\ elle passe donc par un minimum. An contraire, lorsque la différence /(c -f- A) -/{c) est négative, la fonction est maximum pour ^ == c.
. Lorsque la fonction f{x) admet une dérivée pour la valeur c de la variable, cette dérivée doit ôtre nulle. En effet, les deux quotients
qui ont la même limite /'{c) lorsque h lend vers zéro, sont de signes différents; il faut donc que leur limite commune y'(c) soit nulle. Inversement, soit c une racine de l'équation y (:r) = o, comprise entre a et 6; supposons, pour prendre le cas général, que la première dérivée qui n'est pas nulle pour x = c est la dérivée d'ordre n, et que cette dérivée est continue dans le voisinage de la valeur c, La formule générale de Tajlor donne ici, en se limitant au terme de degré /i,
È • JL m • • fif
ce qui peut encore s'écrire
I • ^ • • « fil
S étant infiniment petit avec h. Soit r\ un nombre positif tel que x variant de c — tj à c 4- t^, la valeur absolue de e soit moindre que [/^"'(c)!; pour ces valeurs de x, f^"^{c) H- e a le même signe que/^''^(c) et, par suite, /(c-i- h) — /(c) a le signe de A''/^"^(c). Si n est impair, on voit que cette différence change de signe avec A; il n'y a ni maximum ni minimum pour x = c*Si n est pair, /(c-hh) — /(c) a le même signe que /^"^(c), que h soit positif ou négatif; la fonction est minimum siy^''^(c) est positif, et maximum si /^"^(c) est négatif. En résumé, pour que la fonction soit maximum ou minimum pour a: == c, il faut et il suffit que la première dérivée qui ne s'annule pas pour x = c soit d'ordre pair.
