II. — POINTS SINGULIERS. — IIAXIMA. ET UINIMA. l3l

En langage géométrique, les conditions précédentes signifient que la tangente à la courbe yz=^f(^x) au point A d^abscisse c est parallèle à Ox^ et, en outre, que le point A n'est pas un point d^inflexion.

Remarques, — Lorsque les conditions dans lesquelles nous nous sommes placés ne sont pas réalisées, une fonction /"(^r) peut être maximum ou minimum sans que la dérivée /'(j?) s'annule. Par exemple, si la dérivée est infinie pour x = c^ il suffît que cette dérivée change de signe pour que la fonction présente un

maximum ou un minimum; ainsi la fonction y = j?^ est minimum pour j? = o, et la courbe correspondante présente un rebroussement à Torigine, avec l'axe des j^ pour tangente.

Lorsque, d'après la nature de la question, la variable x ne peut prendre que les valeurs comprises entre deux limites a et 6, il peut se faire que ces valeurs limites donnent les maxima ou les minima absolus de la fonction f{x)^ sans que la dérivée f'{x) soit nulle. Supposons, pour prendre un exemple, que l'on cherche la plus courte distance d'un point fixe P de coordonnées (a, o) au cercle C qui a pour équation x^-\-y^ — R2=o. En prenant pour variable indépendante l'abscisse^ d'un point M du cercle C,

on a

ou, en tenant compte de l'équation du cercle,

rfî= R«-h a» — lax.

L'application de la règle générale conduirait à chercher les racines de l'équation dérivée aa = o, ce qui est absurde. Mais on s'explique cette contradiction apparente en observant que, d'après la nature de la question, la variable x ne peut varier qu'entre — R et -r- R. Si a est positif, d^ est minimum pour j? = R, et maximum pour :r = — R.

56. Fonctions de deux variables. — Soit z =/(x, y) une fonction continue des deux variables x^ y^ lorsque le point M de coordonnées {xj y) reste à l'intérieur d'une aire û, limitée par un contour C. On dit que cette fonction f{x^ y) est maximum ou

l32 CHAPITRE III. — FORMULE DE TAYLOR, ETC.

minimum pour un point (x'o, jKo) de Paire û lorsque l'on peut trouver un nombre positif yj tel que la différence

conserve un signe constant, pour tous les systèmes de valeurs des accroissements h et k, moindres que r\ en valeur absolue. Si Ton considère pour un moment y comme constant et égal à yo^ z devient une fonction de la seule variable x et, d'après le cas que nous venons d'étudier, la différence

ne peut conserver un signe constant pour les petites valeurs de h que si la dérivée j- est nulle pour x = Xq, y =yol on démontre de la même façon que ces valeurs doivent aussi annuler y- > de

sorte que les systèmes qui rendent la fonction /(;r,j^) maximum ou minimum doivent être cherchés parmi les solutions des deux

équations simultanées

àf àf

àx ùy

Soit ^ = ^o,^=j^o une solution de ces deux équations. Nous supposerons que les dérivées partielles du second ordre àef{x^ y) sont continues dans le voisinage des valeurs Xq, yo et ne sont pas toutes nulles pour x=^Xo^ y^^Xo^ et que les dérivées du troisième ordre existent. La formule de Taylor nous donne

A =/(aro + A, ro -«- ^) — /(^o, Jo) (23) { ï.'i\ dxl Oxodyo dylJ

6\ dx ày/y^^u

pour les valeurs de h et de ^, voisines de zéro, c'est évidemment le trinôme

dxl ^^0 àyo âyl

qui donne son signe au second membre, et l'on prévoit d'avance que la discussion du signe de ce trinôme va jouer un rôle prépondérant.