II. -- POINTS SINGULIERS. — MAXIU4 ET MINIMA. l

Pour qu'il y ait maximum ou minimum pour x = x^^ y=yQ, il faut et il suffit que la différence A conserve un signe constant lorsque le point (xq + A, j^o + ^) reste compris à l'intérieur d'un carré assez petit ayant pour centre le point {xo, yo)' Cette différence A conservera donc aussi un signe constant lorsque le point (xo-h A, ^0+ ^) restera à Tintérieur d'un cercle de rayon assez petit de centre (a:©, yo)^ ^^ inversement; car on peut remplacer un carré par le cercle inscrit et réciproquement. Soit donc G un cercle de rayon r décrit du point (xq, y^) comme centre; on obtient tous les points intérieurs à ce cercle en posant

/i = pcosç, A: = psincp,

et faisant varier cp de o à 27c, et p de — r k -\- r. On pourrait même se contenter de donner à p des valeurs positives, mais il vaut mieuji:, pour la suite, ne pas introduire cette restriction. En faisant cette substitution dans A, il vient

P* ry P'

A = — (A cos*cp ■+■ aB sin^ coscp ■+■ G sin*<j>) h- y L,

en posant

dxl ' dxo àjTQ ' dyl '

L étant une fonctijon dont il est inutile d'écrire l'expression développée, mais qui conserve une valeur finie dans le voisinage du point (xo-tyo)- Cela posé, nous avons plusieurs cas à distinguer, suivant le signe de B=^ — AC.

Premier cas. — Soit B^ — AC >>o. L'équation

A cos*ç -h aB sin© coso ■+- G sin*o = o

admet deux racines réelles en tang(p, et ]e premier membre est la différence de deux carrés, de sorte que l'on peut écrire

A = — [a(a coso ■+■ b sin<p)» — ^(a'cos o -h 6'sincp)*] -+- ^ L,

où

a > o, P > o, ab'—ba'^o.

Si l'on attribue à l'angle ç une valeur telle que l'on ait

acos^ -T- b sincp =o,

l34 CHAPITRE 111. — FORMULE DE TAYLOR, ETC.

A sera négatif pour les valeurs infiniment petites de p ; au contraire, si Ton prend pour <p un angle tel que a! cos<p -^- V sin (p = o, A sera positif pour les valeurs infiniment petites de p. Il est donc impossible de trouver un nombre r tel que la différence A conserve un signe constant lorsque la valeur absolue de p est inférieure à r, quel que soit Tangle (p. La fonction /(j:, ^) n'est ni maximum, ni minimum, pour ^ = Xo, JK ^j-'o-

Deuxième cas, — Soit B^ — AG < o. Le trinôme

A cos*<p H- aB coso sinç -»- G sin^Q

ne s'annule pas lorsque cp varie de o à air. Soit m une limite inférieure de sa valeur absolue; soit, d'autre part, H une limite supérieure de la valeur absolue de la fonction L dans un certain cercle de rayon R et de centre (aro, ^o)- Désignons par r un nombre

positif inférieur à R et à -n-; à l'intérieur du cercle de rayon r, la

différence A aura le même signe que le coefficient de p-*, c'està-dire que A ou G. La fonction f{x^ y) est donc maximum ou minimum pour x = Xq, y =yo- En résumé, si au point Xq, y^^ on a

il n'y a ni maximum ni minimum. Si l'on a

il y a maximum ou minimum, suivant le signe des deux dérivées j-4> T-4 • II y 21 maximum, si ces dérivées sont négatives, minimum si elles sont positives.

57. Étude du cas ambigu. — Le cas où B^ — AG =: o échappe à la discussion précédente. La Géométrie montre bien à quoi tient la difficulté du problème dans ce cas spécial. Soit S la surface représentée par l'équation z z=f(^x^y)\ si la fonction /(^,j^^) est maximum ou minimum en un point (j?0} J^o)) dans le voisinage