II. - FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES

10. Généralités. — Une quantité variable o) dont la valeur dépend des valeurs de plusieurs autres quantités variables x^ y, Zj ...,/, indépendantes les unes des autres, s^appelle une /onction des variables indépendantes x^ y, z, . . . , t^ et l'on indique celle liaison par le symbole to =/(x, y^ z, ..., /). Soit, pour fixer les idées, w z=f(^x^ y) une fonction des deux variables indépendantes X et y\ si Ton regarde x et y comme les coordonnées cartésiennes d'un point dans un plan, à tout système de valeurs des variables (j:, y) correspond un point M, et inversement. Lorsque à tout point d'une aire A, limitée par un ou plusieurs contours de forme quelconque, correspond une valeur de co, nous disons que la fonction /{x, y) est définie dans la portion A du plan.

Soient (xoy yo) les coordonnées d'un point M© pris dans cette portion du plan. On dit que la fonction /(x, y) est continue pour le système de valeurs Xo^yo, si, à tout nombre positif e^ on peut faire correspondre un autre nombre positif 't\^ tel que Con ait

à la seule condition que l'on ait |/i| < t^, \k\ < t^.

On peut interpréter comme il suit la définition de la continuité. Imaginons que Ton construise, dans le plan des xy^ un carré de centre Mo, de côté égal à 2 7), et ayant ses côtés parallèles aux axes ; le point M' de coordonnées (xq-^ A, ^o + ^') est à l'intérieur de ce carré, pourvu que l'on ait \h\ <ir^, \k\<C'ri> Dire que la fonction est continue pour x =^XQy y=yQ^ cela revient à dire que l'on peut prendre le côté de ce carré assez petit pour que la différence des valeurs de la fonction au point Mq et en un autre point quelconque de ce carré soit moindre que e en valeur absolue. Il

l4 CHAPITRE I. — DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES.

est évident, d'après cela, que Ton pourrait remplacer ce carré par un cercle de centre (^o? yo)î car, si la condition précédente est satisfaite pour tous les points situés à Tintérieur d'un çarxé, elle le sera aussi pour tous les points intérieurs au cercle inscrit. Inversement, si la condition est satisfaite pour tous les points intérieurs à un cercle, elle l'est aussi pour tous les points intérieurs à un carré inscrit dans ce cercle. On pourrait donc définir la continuité en disant que l'on peut faire correspondre les nombres e

et y\ positifs de telle façon que l'inégalité ^A* -f- A-^ < '/i entraîne l'inégalité

La continuité se définit de même pour une fonction de 3, 4? • - •? n variables indépendantes.

11 est clair que toute fonction continue des deux variables a:, y est une fonction continue de chacune des deux variables prise isolément, mais la réciproque n'est pas toujours exacte (*).

11. Dérivées partielles. — Si, dans une fonction continue /(^j ^), on attribue à l'une des variables, y par exemple, une valeur constante, d'ailleurs quelconque, on a une fonction de la seule variable x^ dont on désignera la dérivée, si elle existe, par/^(:r, y) ou w^; on désignera, de même, par w^ ou/^.(^, j^), la dérivée de la fonction /(x, ^), où l'on regarde x comme une constante et y comme la variable indépendante; f'jc{x^ y) et f'{x^ y) sont les dérivées partielles de la fonction /(x, y). Ces dérivées partielles sont elles-mêmes, en général, des fonctions des deux variables x^ y\%\ l'on prend, à leur tour, leurs dérivées partielles, on obtient les dérivées partielles du second ordre de/{x,y). On a ainsi quatre dérivées partielles du second ordre y^i, /^y,