II. — POINTS SINGULIERS. — IIAXIUA ET MINIIIA. l4l
La mélhode est la même, quel que soit le nombre des variables indépendantes; c^est toujours la discussion d'une forme quadratique qui joue un rôle prépondérant. Dans le cas d'une fonction de trois variables seulement u ■=if{^x^ y^ z\ on peut remarquer que la question revient à étudier la nature d'une surface dans le voisinage d'un point singulier. Considérons en effet la surface S qui a pour équation
cette surface passe évidemment par le point Mo de coordonnées (^07 yoj >2o) et, si la fonction y*(^, y^ z) est maximum ou minimum, ce point Mo est un point singulier de S. Cela posé, si le cône des tangentes en M© est imaginaire, on a vu que F(^,y, z) conservait un signe constant à l'intérieur d'une sphère de centre M« et de rayon assez petit; il y a eflfectivement maximum ou minimum pour f(x^ y, 5). Mais si le cône des tangentes est réel, ou se décompose en deux plans réels et distincts, il y a plusieurs nappes de surface passant au point M©, et F(:r, y^ z) change de signe lorsque le point (^, y, z) traverse une de ces nappes.
60. Distance d'un point à une surface. — Soit à trouver les valeurs maxima et minima de la distance d'un point fixe (a, b, c) à une surface S représentée par Téquation F(a7, ^, ;;) = o. Le carré de la distance
u = d^=(x — ay-+-(y — b)i-^{z — c)*
est une fonction de deux variables indépendantes seulement, x et y par exemple, si l'on considère z comme une fonction de a; et de ^ définie par l'équation F = o. Si u est maximum ou minimum pour un point (^,y, z) de la surface, on doit avoir, pour les coordonnées de ce point
i au . . . . dz
d'autre part, de l'équation F = o, on tire
dF d¥ àz dF dF àz
àx ' dïdx=^' 5;-^^^5^=^'
l42 CHAPITRE III. — FORMULE DE TAYLOR, ETC.
(;l les relations précédentes deviennent
dx dy • dz
ce qui montre que la normale à la surface S au point {x^ y, z) passe par le point (a, bj c). Les points cherchés sont donc, en laissant de côté les points singuliers de la surface S, les pieds des normales abaissées du point (a, 6, c) sur la surface S. Pour examiner si un de ces points répond effectivement à un maximum ou à un minimum, nous prendrons ce point pour origine et le plan tangent pour plan des xy, de façon que le point donné soit sur Taxe Oz. La fonction à étudier est alors
z étant une fonction f(Xj y)^ qui est nulle ainsi que ses dérivées du premier ordre pour ir =^ = o. En désignant par r, 5, t les dérivées partielles du second ordre de z, on a, pour Forigine,
dx^ dxdy dy^ ^ '
et tout revient à étudier le signe du polynôme
A(r) = c*5' — (1 ^ cr){\ — et) = c^{s^— rt) ^ (r -^r t)c — 1;
les racines de l'équation A(c) = o sont toujours réellesi en vertu de l'identité (r -+- r)*-h4(«* — rt) = is^-h {r~ t)*. Gela posé, plusieurs cas sont à distinguer, suivant le signe de 5* — rt.
Premier' cas, — Soit s^ — rt <, o. L'équation A(c) = o a deux racines de même signe Ci et Cj, et l'on peut écrire A(c) = (5* — rt)(e — C|)(c — Cj). Marquons les points Ai et A] de l'axe des z de coordonnées Ci et c^; ces deux points sont du même côté de l'origine et, en supposant r et t positifs, ce qu'on peut toujours faire, ils sont tous les deux sur la partie positive de 0.3. Si le point donné A(o, o, c) est en dehors du segment Ai As, A(c) est négatif et la distance OA est maximum ou minimum. Pour savoir lequel des deux cas se présente, il faut consulter le signe de i — cr;
ce coefficient ne s'annule que pour la 'valeur c = -* qui est comprise
entre Ci et Cj, car on a A( - j = -j» Or, pour c = o, i — cr est positif; il
est donc positif si le point A est du môme côté que l'origine par rapport au segment Ai As, et la distance OA est minimum. Elle est au contraire maximum si le point A est situé de l'autre côté que l'origine par rapport au segment A|At. Si le point A est entre les points Ai et Aj, la distance n'est ni maximum ni minimum. Il y a doute pour les points Ai et At euxmêmes.
