II. — POINTS SINGULIERS. — UAXIM4 BT MINIHA. l

Deuxième cas. — Soit 5* — rf > o. Les racines Ci et Ci de A(c) = o sont Tune positive, l'autre négative, et les points Ai et Â^ sont de part et d'autre de l'origine. Si le point A n'est pas compris entre Ai et Aj, A(c) est positif, et il n'y a ni maximum ni minimum. Si le point A est compris entre Ai et Aj, A(c) est négatif, i — cr est positif et, par suite, la distance OA est minimum.

Troisième cas. — Soit 5'— rt — o. On a ^(c) = (r-^ t)(c — Ci). On voit comme tout à l'heure que la distance AO est minimum si le point A est du même côté que l'origine par rapport au point Ai de coordonnées (o, o, Cl), et qu'il n'y a ni maximum ni minimum si le point Ai est entre le point A et l'origine.

Les points Ai et Aj jouent un rôle fondamental dans l'étude de la courbure; ce sont les centres de courbure principaux de la surface S au point O.

61. Maxima et minima des fonctions implicites. — Il arrive souvent que l'on a à chercher le maximum ou le minimum d'une fonction de plusieurs variables, ces variables étant liées par une ou plusieurs relations. Soit, par exemple, bi =f(^x, y^ z^ u) une fonction des quatre variables x^ y^ z^ w, assujetties à vérifier les deux relations

/i(Xy jr, 5, M) =0, fli^^yj Z, a) = 0.

Considérons, pour fixer les idées, x çX y comme deux variables indépendantes, z et u comme des fonctions de a: et de j^ définies par les relations précédentes. Les conditions pour que (o soit maximum ou minimum sont les suivantes :

àf df dz df du df àf dz df du

^^^^^^ ^^^^^^ ^iHV«^^ «^^1^^^ ^V^BIM ^^^^^^^ ^^^^^^ ^^^^^ M ^ ^^rm^^^^ ^^^v^ m^^^^^ ^PB^^^B^ ^^^M^A ^^^^^^B ^^^^^^m ^^^^? M 1

dx ' dz âx du dx ' dy dz dy du dy ' d'ailleurs les dérivées partielles t-> 3-> ^-> t- sont données par

^ dx dx dy dy *^

les relations

àf\ ^ dfx dz dfy du dx dz dx du dx

àfx d/i dz dfi du

à/t j àft dz ^ d/i du dx dz dx du dx

àfi j d/i dz ^ df^ du dy dz dy du dy

dy dz dy ' du dy '

. 11.1- ' ' y dz du dz du j . , , .

et 1 élimination de ^-> ^-, ^-^ -r- conduit aux deux relations

dx dx dy dy

l44 CHAPITRE III. — FORMULE DE TAYLOR, ETC.

qui, jointes aux relations f^ = o, /i^ o, déterminent les valeurs de x^ y^ Zj u correspondant à un maximum ou à un minimum. Or les deux équations (27) expriment que l'on peut trouver pour A et [JL des valeurs telles que Ton ait

^ àx dx ~^ dx ' ày ^ dy dy '

dz dz ^ dz du du ^ du

On peut donc remplacer les deux conditions (27) par les quatre équations (28), en considérant X et a comme deux inconnues auxiliaires.

La démonstration est évidemment générale, et Ton peut énoncer la règle pratique suivante : Etant donnée une fonction

de n variables liées par h relations distinctes

pour trouver les valeurs de x^, X2, . . . , ^« qui rendent cette fonction maximum ou minimum, il faut égaler à zéro les déri^^ées partielles de la fonction auxiliaire '

f-+- ^1^1 -H. . .-f- X/^cp/i,

en regardant Xi, X2, . . . , )v>i comme des constantes.

62. Autre exemple. — Voici un autre exemple où le minimum ne s'obtient pas toujours en égalant à zéro les dérivées partielles. Étant donné un triangle ABC, soit à trouver le point P du plan de ce triangle pour lequel la somme des distances PA -h PB -+- PC est la plus petite possible. Soient (ai, ôj), (aj, 6j), (aa, 63) les coordonnées des sommets A, B, C, dans un système d'axes rectangulaires; nous avons à chercher le minimum de la fonction

les trois radicaux étant pris avec leur détermination positive. Cette équation (29) représente une surface S qui est évidemment tout entière audessus du plan des xy, et la question revient à trouver le point de cette