I. — IféTHODKS DIVERSES DE QUADRATURE. l
ordonnées correspondantes ont pour valeurs
et l'aire du jp**""® rectangle a pour expression
[a(i -H 0L)P — a{i H- (x)P'^]kaV-{i -h a//»-»'!* — Aal*+» a(i -4- a)«/»-»H(i+i).
La somme des aires de tous ces rectangles est donc égale à
Aaï*^-»a[i -h (i -h a)ï*+-J h- (i 4- «)«<(*-»-»'-♦-. . . -h (i-f- a)i»-i)((i4-i)] ;
si [X + 1 n'est pas nul, ce que nous supposerons d'abord, la somme entre parenthèses est égale à — ^-r— ^ et, en remplaçant a(i -f- a)" par b, on peut écrire la somme précédente
Quand a tend vers zéro, le quotient ^—^ — a pour limite
la dérivée de (i + a)t*+* par rapport à a, pour a = o, c'està-dire |x -i- I ; l'aire cherchée est donc égale à — — •
Lorsque [x= — i, le calcul ne s'applique plus. La somme des aires des rectangles inscrits est égale à nAa, et il faut chercher la limite du produit noL, /i et a étant liés par la relation
On tire de là
. b OL . b I
/la = log- j — = log-
a log(i -h a) ^a i
log(i-4- a)«
log désignant le logarithme népérien; lorsque a tend vers zéro,
(14- a)* a pour limite le nombre e, et le produit /la a pour limite log-- L'aire cherchée est donc égale à A log- •
67. Fonctions primitives. — L'invention du Calcul intégral a ramené le calcul d'une aire plane à la recherche d*une fonction
ajanl pourdérivée une fonction connue. Soit^=y(a:) Téqualion d^une courbe rapportée à deux, axes rectangulaires, la fonction/( x) étant continue. Considérons Taire comprise entre cette courbe, Taxe des .r, une ordonnée fixe MoPo et une ordonnée variable MP comme fonction de l'abscisse x de l'ordonnée variable. Cette aire A est évidemment une fonction continue de x, tant que la fonction f(^x) reste elle-même continue. Afin d'embrasser tous les cas possibles, nous conviendrons de désigner par A la somme algébrique des aires limitées par la courbe donnée, l'axe des x et les droites MqPo; MP, cliacune des portions dont peut se composer celte aire étant afiectée d'un signe, le signe + pour les aires à droite de MoPo et au-dessus de Ox^ le signe — pour les aires à
Fi g. 10.
droite de MoPo et au-dessous de Ox, et la convention contraire étant faite pour les aires à gauche de MoPo» Ainsi, lorsque MP vient en M'P', on prendra A égal à la différence des deux aires
MoPoC-M'P'C;
de même, si MP est en WV\ on aura A = M"PD — MoPoD.
Ces conventions étant faites, nous allons montrer que la fonction continue A ainsi définie a pour dérivée/( x). Prenons, comme l'indique la figure, deux ordonnées voisines MP, NQ, d'abscisses x el j:-f- Ajc. L'accroissement de l'aire AA est évidemment compris entre les deux rectangles qui auraient pour base commune la distance PQ et pour hauteurs respectives la plus grande et la plus petite des ordonnées de l'arc MX; désignons ces ordonnées maxima et minima par II et A, nous pouvons écrire
h Aar < AA < H Ax,
