I. — MÉTHODES DIVERSES DE QUADRATURE. l

compris entre -^ — 4c — et =j — j:: — > li et L/ étant les distances

maiimum et minimum d'un point de Tare Qi 4 Q/ à Taxe xx' \ il est clair que ces deux rapports tendent vers l'unité lorsque la distance P||P/ devient infiniment petite. Cela posé, le rapport

0L\-\~ Otj H- . . . -f- Ot/i

qui est compris entre le plus grand et le plus petit des rapports

Û-» û^» *"> o-y aura aussi pour limite l'unité lorsque le nombre

Pi Pt ?a ' ^

des rectangles augmente indéfiniment. Or le dénominateur de ce rapport est constant et égal à l'aire cherchée S; par suite, cette aire est aussi égale à la limite de la somme ai 4- a2 + . . .-f- ««, lorsque le nombre n des rectangles augmente indéfiniment, de façon à satisfaire à la condition indiquée plus haut.

Pour déduire de là une expression analytique de Taire, supposons que Ton ait rapporté la courbe AB à un système d'axes rectangulaires, l'axe Ox coïncidant avec xx'. Soit y==/(^x) l'équation de la courbe AB;/(x) est par hypothèse une fonction continue de a: lorsque j: varie entre les limites a et 6, abscisses des points A et B. Si l'on désigne par X|, X2j • • , Xn-t les abscisses des points de division P|, P2, . . ., P/i.i, les bases des rectangles précédents sont Xi — a, X2 — Xi, . - ., a;/ — Xi i^ . . ., b — Xn^\^ et les hauteurs sont de même /(«), /{xt), ..., /(j:/i), ...,/(^«i). L'aire S est donc égale à la limite de la somme

lorsque' le nombre n augmente indéfiniment, de façon que toutes les différences j?| — a^ X2 — x^, . . ., tendent vers zéro.

66. Exemples. — Si on divise la base AqBq en n parties égales, de longueur h,{b — a = nh)^ tous les rectangles ont la même base A, et les hauteurs sont respectivement

/(a), /(a-f-A), /((H-aA), ..., /[a -4- (/i - i)/i];

on a donc à chercher la limite de la somme

i54 GHÀPiraB iv. — intégrales définies.

où

lorsque le nombre entier n augmente indéfiniment. Le calcul est facile lorsqu'on sait trouver la somme des valeurs Aq f{x) pour des valeurs de x formant une progression arithmétique. C'est ce qui a lieu siy(:r) se réduit à une puissance entière Aex, ou encore

si l'on ay(x) = sin/wa: ou/(j:) = cos/w^ Reprenons, par

exemple, la parabole x^'=.7.py et proposons-nous d'avoir Taire comprise entre un arc OA de cette parabole, l'axe des x et la droite ^ = a, passant par l'extrémité A. La base étant divisée en n parties égales, de longueur h [nh = a), nous avons, d'après ce qui précède, à chercher la limite de la somme

on a entre parenthèses la somme des carrés des {n — i) premiers

nombres, c'est-à-dire — — ^'^ — ^^9 et la somme précédente est

égale à

i2pn^

Lorsque n augmente indéfiniment, cette somme a évidemment

pour limite ^— = - a — , ou le tiers du reclane;le construit sur les ^ Qp Z ip ^

deux coordonnées du point A, ce qui est bien d'accord avec le résultat obtenu plus haut.

Dans d'autres cas, comme dans l'exemple suivant dû à Fermât, il vaut mieux prendre pour abscisses des points de division des nombres en progression géométrique.

Soit à trouver l'aire comprise entre la courbe y = A art*, l'axe des X et les deux droites :r = a, j? = 6, (o < a < 6), l'exposant [x étant quelconque. Pour cela, nous insérerons, entre a et b, n — i moyens géométriques, de façon à avoir la suite

a, a(i-ha), a(i4-a)«, ..., «(i-Ha)'*-^ b,

le nombre a satisfaisant à la condition a(ï -h a)"^ 6; les nombres précédents étant pris pour abscisses des points de division, les