QUI S'Y RATTACHENT

68. Limites supérieure et inférieure. — On dit qu'un ensemble de nombres est limité supérieurement s'il est possible de trouver un nombre fixe N tel qu'il n'existe aucun nombre faisant partie de l'ensemble et supérieur à N. On dit de même qu'un ensemble est limité inférieurement s'il est possible de trouver un nombre N' tel qu'il n'existe aucun nombre de cet ensemble inférieur à N'. Ainsi l'ensemble des nombres entiers positifs est limité inférieurement, mais n'est pas limité supérieurement; l'ensemble des nombres entiers, positifs ou négatifs, n'est limité dans aucun sens, tandis que l'ensemble des nombres rationnels, compris entre o et I , est limité des deux côtés.

Soit (E) un ensemble limité supérieurement. On peul, relativement à cet ensemble, décomposer tous les nombres en deux classes. Nous dirons qu'un nombre a appartient à la première classe, s'il existe des nombres de l'ensemble (E) supérieurs à a, et qu'il appartient à la seconde classe si aucun des nombres de (E) n'est supérieur à a; l'ensemble considéré étant limité supérieurement, il est clair qu'il existe des nombres des deux classes. Soit un nombre de la première classe et B un nombre de la deuxième classe; on a évidemment A<^B, et il existe des nombres de l'ensemble (E) compris entre A et B, tandis qu'il n'en existe aucun

qui soit supérieur à B. Le nombre G = peut appartenir à la

première ou à la deuxième classe; dans le premier cas, nous remplacerons l'intervalle (A, B) par l'intervalle (G, B) et, dans le second cas, par l'intervalle (A, G). Le nouvel intervalle (A|, B|) est la moitié de (A, B) et possède la même propriété que le premier; il existe au moins un nombre de l'ensemble (E) supérieur à A|, et il n'en existe aucun de supérieur à B|. En opérant sur (A<, B|) comme on a opéré sur (A, B) et ainsi de suite indéfiniment, on forme une suite illimitée d'intervalles (A, B), (A,, B,), (A2, B2), . . . dont chacun est la moitié du précédent et qui possèdent la même propriété que le premier intervalle (A, B), relativement à l'ensemble (E). Les nombres A, A,, A2, . . •, A;, ne vont