II. — INTÉGRALES DÉFINIES. — NOTIONS GÉOMÉTRIQUES

jamais en décroissaDt et sont tous inférieurs à B; donc ils tendent vers une limite X (n° 1). De même, les nombres B, B|, B2, ... ne vont jamais en croissant et sont tous supérieurs à A; ils tendent

donc vers une limite V. D'ailleurs la différence B„ — A/, = — ^^^—

tend vers zéro lorsque n augmente indéfiniment, ce qui ne peut avoir lieu que si l'on a X'=X. Soit L celle limite commune; ce nombre L est appelé la limite supérieure de l'ensemble (E). D'après la façon même dont on l'a obtenu, il jouit des deux propriétés suivantes :

I** Aucun nombre de Vensemble (E) n^est supérieur à L; 2° Quelque petit que soit un nombre positif ^^ il existe toujours un nombre de Vensemble (E) supérieur à L — e.

Supposons en effet qu'il existe un nombre de l'ensemble supérieur à L, soit L-l-A(A>o). Comme B/j tend vers L lorsque n augmente indéfiniment, à partir d'une valeur de n assez grande, Bn serait inférieur à L + A, ce qui est impossible, puisque B,, est de la seconde classe. Soit d'autre part e un nombre positif quelconque. A partir d'une valeur de n assez grande, A,, est supérieur à L — e et, comme il y a des nombres de (E) supérieurs à A^, ils sont aussi supérieurs à L — e. Il est clair que les deux propriétés précédentes ne peuvent appartenir à aucun autre nombre que L.

La limite supérieure L peut appartenir ou non à l'ensemble (E). Par exemple, si l'on prend les nombres rationnels qui ne dépassent pas a, ce nombre 2 est précisément la limite supérieure et appartient à l'ensemble; au contraire, les nombres irrationnels qui ne dépassent pas 2 ont encore 2 pour limite supérieure, mais cette limite ne fait pas partie de Tensemble. Observons encore que, lorsque la limite supérieure L n'appartient pas à l'ensemble (E), il y a toujours une infinité de nombres de (E) supérieurs à L — e, aussi petit que soit e. Car, s'il n'y en avait qu'un nombre fini, c'est le plus grand de ces nombres qui serait la limite supérieure, et non pas L. Lorsque l'ensemble se réduit à un système de n nombres différents, la limite supérieure est égale au plus grand de ces n nombres.

On démontre de la même façon que, si un ensemble est limité inférieurement, il admet une limite inférieure L', possédant les deux propriétés suivantes :

l6o CIIAPITRB IV. — INTÉGRALES DÉFINIES.

i" Aucun nombre de C ensemble n'est inférieur à L'; 2° e étant un nombre positif arbitraire, il existe un nombre de l^ ensemble inférieur à L'-f- e ( * ).

69. Oscillation. — So\lf{x) une fonction bien définie dans un intervalle (a, 6), c'esl-à-dire telle qu'à toute valeur de x comprise entre a et 6, et aux. limites a et 6 elles-mêmes, corresponde une valeur unique de f{x). Cette fonction est dite finie dans cet intervalle si toutes les valeurs qu'elle prend sont comprises entre deux nombres fixes A et B. L'ensemble des valeurs de la fonction f{x) est alors limité supérieurement et inférieurement. Soient M et m les limites supérieure et inférieure de cet ensemble; la différence A = M — m s'appelle V oscillation de la fonction /(x) dans l'intervalle (a, b).

Les définitions qui précèdent donnent lieu à quelques remarques. Pour qu'une fonction soit finie dans un intervalle (flr, è), il ne suffit pas qu'elle ait une valeur finie pour chaque valeur de x. Ainsi la fonction /(x) définie de la manière suivante entre o et i ,

/(o) = f>» /(^)=-> poura:>o,

. possède une valeur finie pour chaque valeur de x^ et cependant elle n'est pas finie au sens que nous attachons à ce mot, car on

ay(jc) > A, pourvu que l'on prenne jr << t-* De même une fonction finie dans l'intervalle (a, b) peut prendre des valeurs qui diffèrent d'aussi peu qu'on voudra delà limite supérieure Mou de la limite inférieure m, mais elle n'atteint pas nécessairement ces valeurs elles-mêmes. Par exemple la fonction f{x) définie dans

(') Lorsque tous les nombres peuvent êlre, d'après une propriété particulière, partagés en deux classes, A et B, de telle façon qu'un nombre quelconque de la classe A soit inférieur à un nombre quelconque de la classe B, la limite supérieure L des nombres de la classe A est en môme temps la limite inférieure des nombres de la classe B. Il est clair d'abord que tout nombre supérieur à L est de la classe B; s'il existait un nombre L' < L, faisant partie de la classe B, il en serait de même de tout nombre supérieur à L'. On voit donc que tout nombre inférieur à L est de la classe A, tout nombre supérieur à L est de la classe B; le nombre L lui-même peut appartenir à Tune ou l'autre des deux classes.