II. — INTÉGRALES DÉFINIES. — NOTIONS GÉOMÉTRIQUES. l6l

rinlervalle (o, i) par les conditions

/(o) = o, /(or)= f —X, pouro<a?^i,

admet pour limite supérieure M:= i, et n'atteint jamais cette limite.

70. Propriétés des fonctions continues. — Nous allons maintenant nous occuper en particulier des fonctions continues.

Théorèmb A. — Soit f{x) une fonction continue dans V intervalle (a, 6), et e un nombre positif arbitraire. On peut toujours décomposer l'intervalle (a, b) en un certain nombre dHntervalles partiels tels que, pour deux valeurs quelconques de la variable, xf et x", appartenant à un même intervalle partiel, on ait toujours \f{x^) — f{x")\< s«

Supposons en effet qu'il n'en soit pas ainsi, et soit c= ;

l'un au moins des intervalles (a, c), (c, b) jouira de la même propriété que (a, 6), c'est-à-dire qu'il sera impossible de le décomposer en intervalles partiels satisfaisant à Ténoncé du théorème. En le substituant à (a, b), et en raisonnant comme plus haut (n"68), nous formerons une suite indéfînie d'intervalles (a, 6), («1, 6|), (aa, 62)» • • M dont chacun est la moitié du précédent, et qui possèdent la même propriété que l'intervalle primitif (a, b)» Quelque grand que soit /i, on peut toujours trouver dans l'intervalle (a,,, bfi) deux nombres x' et ^ tels que \f{x') — f{x")\ soit supérieur à e. Cela étant, désignons par X la limite commune des deux suites de nombres a, a^, ^2, ... et 6, bi,.b2j .... La fonction/(a:) étant continue pour a: = X, on peut trouver un nombre r,

tel que l'on ait [f{x) — /(X)K-» pourvu que \x — X| soit infé-

rieur à 7^. Choisissons ensuite n assez grand pour que an et bn diffèrent de \ de moins de t,, de façon que l'intervalle (a„, bn) soit compris dans l'intervalle (A — r, , X -h y) ) ; a;' et a:'' étant deux valeurs quelconques de l'intervalle (a^, 6«), on aura donc

et par suite \f{x') — /(^")[<;£. La supposition dont nous G. II

l62 CHAPITRE IV. — INTÉGRALES DEFINIES.

sommes partis nous conduit à une contradiction. Le théorème est donc exact.

Corollaire /. — Soit a, x^^ X2^ . . ., Xp\^ b un mode de subdivision de l'intervalle (a, b) enp intervalles partiels, satisfaisant aux conditions de Ténoncë. Dans l'intervalle (a, ^r^) on aura 1/(^)1 <!/(«)! + ^ c^ ^^ particulier |/(^i)| < i/(a)| H- e; de même, dans l'intervalle (x^y jtj)? on aura |/(^)| < |/(^0I + ^ et a fortiori |/(a;)| < |/(a)| -+- 2e. En particulier, pour x = x^j 1/(^2)1 < 1/(^)1 + 2e, et ainsi de suite. Pour le dernier intervalle, on obtiendra Tinégalilé

l/(^)l<l/(^/.-i)I-He<|/(a)|-4-/>e.

On voit que la valeur absolue de /{x) dans l'intervalle (a, 6) reste toujours inférieure à |/(«)[ +/?£• Toute fonction continue dans un intervalle {a, b) est donc finie dans cet intervalle.

Corollaire IL — Imaginons que Ton ait décomposé l'intervalle (a, b) en p intervalles partiels (a, ^,), (j?|, x^)^ •-.,

{^p-\) b), tels que l'on ait toujours \f{x') — /(j:")| <; - pour

deux valeurs quelconques de x appartenant à un même intervalle. Soit Ti un nombre positif plus petit que toutes les différences x^ — a, X2 — Xi^ . . . , b — Xp^\ . Prenons deux nombres quelconques compris entre a et 6, tels que l'on ait \x' - — x^\<.ti^ et cherchons une limite supérieure de \f{x^) — /(^')|. Si les deux nombres ^', x'^ tombent dans un même intervalle partiel, on a

\/{^') — /i^")\'^ "' Dans le cas contraire, x' et x^ appartiennent à deux intervalles consécutifs, et il est clair que l'on a \f{x^) — /(^")l < 2 - = e. Donc, à tout nombre positif e on

peut faire correspondre un autre nombre positif r\ tel que, a^ et of désignant deux nombres de l'intervalle (a, b), on ait

toutes les fois que Von a \xf — x^\<iy\. On exprime aussi cette propriété en disant que la fonction /(a:) est uniformément continue dans l'intervalle (a, b).

Théorème B. — Une fonction f{x) continue dans l'inter^