II. — INTÉGRALBS DÉFINIES. — NOTIONS GÉOMÉTRIQUES

sîon; en preDant pour valeur approchée de 1 un nombre quelconque compris entre S et 5, l'erreur commise est plus petite que S — s.

Toute fonction continue est intégrable, — La différence S — s est, en effet, plus petite ou au plus égale k{b — a)(t), en désignant par Cl) une limite supérieure de l'oscillation de f{x) dans chaque intervalle partiel. Or on peut choisir un nombre r\ tel que l'oscillation soit moindre qu'un nombre positif donné dans tout intervalle inférieur à r\ (n® 70). Si l'on choisit r\ de façon que l'oscillation soit plus petite que . __ » la différence S — s sera inférieure à e.

Une fonction qui n^ est jamais décroissante, ou jamais croissanté dans un intervalle, est intégrable dans cet intervalle.

On dit qu'une fonction n'est jamais décroissante dans un intervalle (a, b) si l'on a pour deux valeurs quelconques :r', x" de cet intervalle /(j/)S/(:r") lorsque x'>x", La fonction peut conserver une valeur constante dans certaines portions de l'intervalle, mais, si elle ne reste pas constante, elle va en croissant. Partageons l'intervalle (a, b) en n intervalles partiels inférieurs à 7|; on peut écrire

S =/(ari)(a-i — a)-h/(ar,)(x, — a?,)-+-...-l-/(6)(6--ar„,), *=/(«) (a?i — a)-H/(a?i)(a7, — a?,)-i-...-h/(a?„-i)(6 — .r„,).

En effet, la limite supérieure dans l'intervalle (a, Xi), par exemple, est égale à /(^i), et la limite inférieure égale à / a), et de même pour les autres. On tire de là S - * = (ar, - a)[/(a7, ) -/(a)]

H-(ar,-a?i)[/(a7,)— /(a?i)]-i-...-h(6 — a7;,-i)[/(^j-/(;r„-.,)];

toutes les différences qui figurent au second membre sont des nombres positifs, et toutes les différences X\ — a^ x^ — X\^ . . ., sont inférieures à t). On a donc

c'est-à-dire

l68 CHAPITRE lY, — INTÉGRALES DÉFINIES.

suffira de prendre

pour que Ton ait S — 5 < e. On raisonne de même pour une fonction qui n'est jamais croissante.

Revenons au cas général. On peut remplacer, dans la définition de l'intégrale, les sommes S et 5 par une expression plus générale. Étant donnée une subdivision de l'intervalle (a, b)

soient $i , $2, ...,$/, . . . , des valeurs appartenant respectivement à ces intervalles. La somme

est évidemment comprise entre les sommes S et 5, car on a toujours /Wt^/CSiO^M/; si la fonction est intégrable, cette somme a aussi pour limite I. En particulier, si l'on suppose que ^i, ^2, . . ., ^^ coïncident respectivement avec a, X\^ . . ., Xn-K^ on retrouve la somme (i), considérée plus haut (n® 63).

De la définition de l'intégrale résultent immédiatement quelques conséquences. On a supposé dans le raisonnement «< 6; si l'on échange les deux limites a et 6, tous les facteurs j:/ — Xi\ sont changés de signe, et la limite elle-même est changée de signe; on a donc

Jf f{x)dx = — / /{x)dx.

a Jb

Il résulte aussi de la définition que l'on a

f f(x)dx= f f{x)dX'^ 1 f{x)dx\

^a Ja ^c

si c est compris entre a et 6, c'est évident. Si b est compris entre a et c, par exemple, la formule subsiste encore pourvu que la fonction /(.r) soit intégrable entre a et c, car on peut l'écrire

Ç f{x)dx^ f /(x)dx-- f f(x)dx== f f{x)dX'^ f f{x)dx.