II. — INTÉGRALES DÉFINIES. — NOTIONS GÉOMÉTRIQUES

SîTon a/(a:) = A'f{x) H- B'i;(j:), AelB élant deux consumes quelconques, on a aussi

Jf f{x)dx = k l o(x)dX'hB I ^{x)dx,

et il en serait de même pour la somme d^un nombre quelconque de fonctions.

73. Théorème de M. Darboux. — Étant donnée une fonction finie quelconque fi^x) dans Tintervalle (a, 6), les sommes S el ^ tendent respectivement vers I et T, lorsque tous les intervalles partiels tendent vers zéro, leur nombre croissant indéfîniment. Démontrons-le pour les sommes S, par exemple. Nous supposerons que Ton a a < 6, et que la fonction ^(ar) est positive dans l'intervalle (a, ô); on peut toujours réaliser celte condition en ajoutant une constante convenable à la fonction f{x)^ ce qui revient à augmenter toutes les sommes S d'une quantité constante. Cela posé, le nombre I étant la limite inférieure des sommes S, on peut trouver un mode particulier de division, soit

a, Xi, 371, .. ., ^r-\^ àj

pour lequel la somme S est inférieure à I H — 9 t étant un nombre positif

donné à l'avance. Considérons maintenant une division de (a, 6) en intervalles moindres que tj, et cherchons une limite supérieure de la somme S' correspondante. Prenons d'une part les intervalles ne renfermant aucun des points Xi, Xi^ . .., Xp-^\ en se reportant au raisonnement du n^ 71, on voit qu'ils fournissent dans la somme S' une portion inférieure à la somme S

primitive, c'est-à-dire à Ih — • D'autre part, le nombre des intervalles

qui renferment quelqu'un des points 2^1, x^^ ..., Xp-u ne peut dépasser p — I, et, en désignant par M la limite supérieure de/(^), ils fournissent dans la somme S' une part qui ne peut dépasser {p — i)Mt]. On a donc

S'<I+^+(^,)Mr„

et il suffira de choisir 7\ inférieur à —rr: pour que la somme S' soit

inférieure à I -+- e.

On démontre de même que les sommes s ont pour limite I'. Si la fonction f{x) est quelconque, ces deux limites I et T sont différentes. Pour que la fonction soit intégrable, il faut et il suffît que l'on ait 1'= I.

74. Formule de la moyenne. — Nous supposerons désormais, à moins de mention expresse, que les fonctions sous le signe d^ntéçralion sont continues.

lyo CHAPITRE IV. — INTÉGRALES DEFINIES.

Soient /{se) et <f{û:) deux fonctions continues dans l'intervalle (a, 6), dont l'une çp(^) conserve le même signe entre a et 6; nous supposerons, pour fixer les idées, a <; 6 et ç(^) > o.

Imaginons une division de (a, b) en intervalles plus petits, et soient Si, Ss, . . . , S/, . . . , des valeurs appartenant à chacun de ces intervalles respectivement. Tous les nombres /(Ç/) sont compris entre les limites M et m de/(x) dans l'intervalle (a, b)

/nl/(î/)lM.

Multiplions toutes ces doubles inégalités par les facteurs

qui, par hypothèse, sont tous positifs et ajoutons; on voit que la somme 2/(5/) ?(ii)(^/ — ^i-i) est comprise entre les deux sommes wScp(Ç/)(a:/— :ri i) et Mlf(^i){xi — Xi^t). Le nombre des intervalles partiels augmentant indéfiniment, on a donc à la limite

m I o{x)dx< I /{x)^(x)dx <yi j <p(a?)dlr,

ce qui peut s'écrire

f /(x)^(x)dx=ii I ^{x)dx,

{ji étant compris entre m et M. La fonction f(x) étant continue prend la valeur [x pour une valeur \ comprise entre a et 6, et l'on a encore

(3) r nx)^^x)dx=f{\) f ^{x)dx,

\ élanl compris entre a et 6. Si en particulier on suppose <f{x) = i , f dx est, d'après la définition même, égale à (é — a),

et il reste

/ f{x)dx=^{b-a)/(l

75. Seconde formule de la moyenne. — On doit à M. Bonnet une autre formule qu'il a déduite d'un lemme important dû à Abel.

Leuur. — Soient eo, ei, ..., ^p ^^ nombre quelconque de quantités