II. — FONCTIONS. — GÉNÉRALITÉS

fixes (a <b); si à tout nombre x compris entre a et b correspond un nombre y, on dit que la fonction f(x) est définie dans l'intervalle (a, b). La différence b — « est l'amplitude de l’intervalle, les nombres & et b en sont les limites ou les frontières. Relativement à ces deux nombres a et b, on peut faire plusieurs hypothèses; on peut les regarder comme faisant partie eux-mêmes : de l'intervalle (a, b), qui est dit alors un intervalle fermé. On pourrait aussi considérer l’un de ces nombres, ou les deux à la fois, comme n’appartenant pas à l'intervalle (a, b), qui est dit alors un intervalle ouvert. Par exemple, l’ensemble des valeurs de x satisfaisant aux conditions o<x<i forme un intervalle fermé, tandis qu’on a des intervalles ouverts en prenant l’ensemble des valeurs de + satisfaisant aux conditions o x <1, ou aux conditions o<<æx<1. Dans la suite, quand nous parlerons d’une fonction définie dans un intervalle (a, b), il sera toujours entendu, à moins de mention expresse, qu'il s'agit d’un intervalle fermé, c’est-à-dire qu'aux nombres a et b eux-mêmes correspondent deux valeurs f(a) et f(b) pour y.

Soit (E) l’ensemble des valeurs d’une fonction f(x) définie dans un intervalle (a, b); si cet ensemble est borné, la fonction JR) est dite bornée dans l'intervalle (a, b). Les nombres M et m, définis plus haut, s'appellent aussi la borne supérieure el la borne inférieure de f(x) dans cet intervalle; la différence À — M— m est l’oscillation.

Ces définitions donnent lieu à quelques remarques. Pour qu'une fonction soit bornée dans un intervalle (a, b), il ne suffit pas qu’elle ait une valeur finie pour chaque valeur de æ. Ainsi la fonction f(x) définie de la manière suivante entre o et 1,

PO h=—.0, JABATE = pour Bi 0,

possède une valeur finie pour chaque valeur de +, et cependant

elle n’est pas bornée au sens que nous attachons à ce mot, car on Nu

a f(x) > À, pourvu qu’on prenne 0 x < a De même une fonc-

tion bornée dans l’intervalle (a, b) peut prendre des valeurs qui diffèrent d’aussi peu qu’on voudra de la borne supérieure M ou de la borne inférieure me, mais elle n’atteint pas nécessairement ces valeurs elles-mêmes. Par exemple, la fonction f(x) définie dans

l'intervalle (o, 1) par les conditions FCO) CD) EE PET pour 0 <AP 0

admet pour borne supérieure M—=1:1 et n’atteint jamais cette

valeur.

7. Continuité. — La définition moderne de la continuité est due également à Cauchy (!).

Soit y — f(x) une fonction définie dans l'intervalle (a, b}; prenons une valeur +, comprise dans cet intervallé et une valeur voisine æ, + À comprise dans le même intervalle. Si la différence f(æo+h)— f(x) tendivers zéro, lorsque lavaleur absolue de À tend vers zéro, la fonction f(x) sera dite continue pour la valeur +. D'après la définition même de la limite, on peut dire encore qu'une fonction f(x) est continue pour x =%x5, st à tout nombre positif :, aussi petit qu'on le suppose, on peut faire correspondre un autre nombre positif n tel qu'on ait

[f(%0 + h)— f(æo)| <e,

pour toute valeur de h moindre que n en valeur absolue. Nous dirons qu'une fonction f(x) est continue dans l'intervalle (a, 6) si elle est continue pour toute valeur de x comprise dans cet intervalle et si les différences f(a+h)—f(a), f(b —h) — f(d) tendent vers zéro lorsque la différence tend vers zéro en restant positive.

On démontre dans tous les cours d’Algèbre que les polynomes, les fonctions rationnelles, la fonction exponentielle, la fonetion logarithmique, les fonctions trigonométriques et les fonctions inverses sont des fonctions continues, sauf pour certaines valeurs particulières de la variable. Il résulte aussi de la définition que la somme ou le produit d’un nombre quelconque de fonctions continues est encore une fonction continue : il en est de même du quouent de deux fonctions continues, sauf pour les valeurs de la RE meme

(‘) Pour les géomèêtres contemporains de Newton et de Leibniz, une fonction était continue quand on pouvait l’exprimer au moyen des symboles d'opérations qu'on avait l'habitude de considérer, telles que les opérations arithmétiques,

logarithmiques et trigonométriques. Cette sorte de continuité, assez mal définie, est connue sous le nom de continuité eulérienne.

nie IL. — FONCTIONS. — GÉNÉRALITÉS. 13 variable qui annulent le dénominateur. Mais il est à remarquer que le quotient de deux fonctions continues peut être discontinu pour une racine du dénominateur, tout en restant borné. Par exemple,

| sinx |

le quotient tend vers + 1, suivant que æ tend vers zéro par

valeurs positives ou par valeurs négatives.

Étant donnés dans un plan deux axes de coordonnées Ox et (9 E2 et un trait continu C, dont on regarde l'épaisseur comme négligeable, si une parallèle à Oy ne peut rencontrer ce trait C en plus d'un point, l’ordonnée y d’un point M de C est une fonction

continue de l’abscisse du même point M. Soit y — f(x) cette fonction continue; on dit que la courbe C représente la fonction f(æ). Mais, inversement, loute fonction continue n’est pas susceptible d’une représentation graphique de cette espèce. On a démontré, en effet, qu’il existe des fonctions continues ayant une infinité de maxima et de minima dans tout intervalle. Or il nous est évidemment impossible de nous figurer un trait continu présenant une infinité d’oscillations entre deux ordonnées quelconques, aussi rapprochées qu’elles soient. Ceci nous montre que la représentalion graphique, qui est un excellent moyen d’inducuion pour découvrir les propriétés des fonctions continues, ne saurail fournir de démonstration rigoureuse de ces propriétés.

8. Propriétés des fonctions continues. — En s'appuyant u niquement sur la définition de la continuité, on a établi un certain nombre de théorèmes sur les fonctions continues auxquels 1l sera fait constamment appel dans la suite.

Tuéonime A. — Soient f(x)une fonction continue dans l’intervalle (a, b), et e un nombre positif arbitraire. On peut tou- Jours décomposer l'intervalle (a, b) en un certain nombre d’intervalles partiels tels que, pour deux valeurs quelconques de la variable, x! et x", appartenant à un méme intérvalle partiel, on ait toujours | f(x) —f(x")|< €.

à " : mu. à a + b

Supposons en effet qu'il n’en soit pas ainsi, et SOI C— —— ; l’un au moins des intervalles (a, c), (ce, b) jouira de la même pro-

11@7)3 LC: J

priété que (a, b), c'est-à-dire qu'il sera impossible de le décom-

poser en intervalles partiels satisfaisant à l'énoncé du théorème.

Désignons par (a;, b,) ce nouvel intervalle qui est la moitié de (a, b). En opérant sur (a,, b,) comme on a opéré sur (a, b),et ainsi de suite indéfiniment, nous formerons une suite indéfinie d'intervalles (a, b), (a, b;), (&>, b2:), .…, dont chacun est la moitié du précédent et qui possèdent la même propriété que lintervalle primitif (a, b). Quelque grand que soit », on peut toujours trouver dans lintervalle (a», b,) deux nombres æx/ et x” tels que | f(x’) — f(x')] soit supérieur, à 6: Lésnombres 440 an, +. forment une suite croissante et sont tous inférieurs à b; donc 1ls tendent vers une limite À (n°5). De même les nombres b,

Di, Do, ..., On, ... forment une suite décroissante et sont tous supérieurs à a; 1ls tendent donc aussi vers une limite V. D'ailleurs, e , Let «a # .

la différence b, — a, — ee tend vers zéro lorsque 7 croît indé-

finiment, ce qui prouve que NV — À.

Supposons, pour fixer les idées, que ce nombre À est compris entre & el b. La fonction f(x) étant continue pour æ =}, on peut

trouver un nombre x tel qu'on ait | f(æ) — f(À) LS 5 pourvu que |æ — À] soit inférieur à n. Choisissons ensuite n assez grand pour que &, et ®, diffèrent de À de moins de #, de façon que l’intervalle (a, b,) soit compris dans l'intervalle (À—n, À+n); x' et x” étant deux valeurs quelconques de l'intervalle (&n, bn), on

aura donc

f@)—fDI< ER fe) =fOI<S

et par suite | f(x!) — f(x”)| Le. La supposition dont nous sommes parus nous conduit à une contradiction. Le théorème est donc exact.

Corollaire I. — Soit a, 1, x, ..., Zp 1, db un mode de subdivision de l’intervalle (a, b) en p intervalles partiels, satisfaisant aux conditions de l'énoncé. Dans l'intervalle (a, x;) on aura

[f(æ)1<If(a)|+s,

el en particulier |f(x;)|<<|f(a)|+e; de même, dans l'intervalle (x,, >), on aura

Lfæe)|<|fe)1+e