II. — FONCTIONS. —- GÉNÉRALITÉS

et a fortiori | f(æ)| <|f(a)| + 2:.-En particulier, pour + = æ2, Lf(æ)|<If(a)| + 2,

et ainsi de suite. Pour le dernier intervalle, on obtiendra l’inégalité Rf(x)|<[f(xp1)|+e<]|f(a)| + pe. On voit que la valeur absolue de f(x) dans l'intervalle (a, b) reste toujours inférieure à [f(a) | + pe. Toute fonction continue dans un intervalle (a, b) est donc bornée dans cet intervalle. ;

Corollaire II. — Imaginons qu'on ail décomposé l'intervalle (a, b) en p intervalles partiels (@, æ1), (æ1, &o), ..., (&p 1, D), tels

qu'on ait toujours |f(x') — f(x")| < = pour deux valeurs quel-

conques de + appartenant à un même intervalle. Soit n un nombre positif plus petit que toutes les différences æ, — a, zx —x,,..., b A Prenons deux nombres quelconques compris entre a et b, tels qu’on ait [æ'—x"| 7, et cherchons une limite supérieure de |f(x')—f(x")|. Si les deux nombres x’, 2” tombent

dans un même intervalle partiel, on a [f(z')—f(x")| <=

Dans le cas contraire, +! et x” appartiennent à deux Heat

consécutifs, et il est clair qu'on a |f(x')— f(x")| < 2 —

Donc, à tout nombre positif e on peut faire RTE à un autre nombre positif n tel que, x'et x" désignant deux nombres de l'intervalle (a, b), on ait PAG x!) — f(x”)| Le, toutes les fois qu'on a |x'— x'| Ln. On exprime aussi cette propriété en disant que la fonction f(x) est Her mément continue dans l'inter-

valle (&, db).

Tuéorème B. — Une fonction f(x) continue dans l’intersalle (a, b) prend au moins une fois toute valeur comprise entre f(a) et f(b), pour une valeur de x comprise entre a et b.

Prenons d’abord un cas particulier. Supposons que f(a) et f(b) soient de signes contraires, par exemple qu’on ait f(a) < 0, f(b)>0. Nous allons montrer qu'il existe au moins une valeur de x comprise entre a et b pour laquelle f(x) — 0. En effet, f(x) est négatif aux environs de a et posilif aux environs de b; considérons l’ensemble des valeurs de æ comprises entre & et b qui

rendent la fonction f(x) positive et soit À la borne inférieure de cet ensemble (a << x < b). D’après la définition même de la borne inférieure, f (À de k; f(À) qui est la limite de f(À — h) est donc aussi négatif ou nul. D'un autre côté, on ne peut avoir f(À) < 0. Supposons en effet f(À)—— m, m étant un nombre positif. La fonction f(x)

h) est négatif ou nul, pour toute valeur positive

étant continue.pour æ = À, on peut trouver un nombre n tel qu’on ait f(x) — f(À)| < m, lorsqu'on a [x — | <n; la fonction f(x) serait donc négative pour les valeurs de x comprises entre À et À+n, et À ne serait pas la borne inférieure des valeurs de x rendant la fonction positive. On a donc f(À) = 0.

Soit maintenant N un nombre compris entre f(a) et f(b). La fonction continue o(x) = f(x) — N prend des valeurs de signes contraires pour + — à et pour + — b. Donc, d’après le cas particulier qui vient d’être traité, elle s’annule au moins une fois dans l'intervalle (a, b).

TaéorÈme C. — Toute fonction continue dans un tntervalle (a, b) atteint au moins une fois sa borne supérieure et sa borne inférieure.

D'abord toute fonction continue restant finie, comme on la déjà démontré, admet une borne supérieure M etune borne inférieure". Démontrons, par exemple, qu’on a f(x) —M pour une valeur de æ au moins dans l'intervalle (a, b).

Doi rt, la borne supérieure de f(x) est égale à M pour

x Ë l’un au moins des intervalles (a, c), (ce, b). Remplaçons (a, b) par ce nouvel intervalle, sur lequel nous recommencerons l'opération, et ainsi de suite. En raisonnant comme on la déjà fait tout à l'heure, nous formerons une suite indéfinie d’intervalles (db), (ai, bi), (a», b:), ... dont chacun est la moitié du précédent, la borne supérieure de f(x) dans chacun de ces intervalles étant toujours égale à M. Soit À la limite commune des deux suites 4, Gi... nr, et 0, bi, .…., bn, ….; f(X) est égal à Mr: Supposons, en effet, f(À) = M — k, k étant positif; on peut déterminer un nombre positif n tel que, x variant de À — 1 à À 2 nn

; / 4 reste compris entre f(À) += et f(À) — : et soil, par conséquent,