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Ba—oe),
et la formule du changement de variable donne, par suite, n —+ + © T(n +31) =onen(/? f et dt+onte-n Î e—t*(1 —0)t dt. 2 n — % — wo
La première intégrale (voir plus loin n° 135)
—+ co + 00 f ÉTUAtE > f et dt =.
Quant à la seconde intégrale, on ne peut la calculer exactement, puisqu'on ne connaît pas 0, mais il est facile d’en trouver une limite. En effet, entre — æ et zéro, tous les éléments sont péeauée, ils sont tous positifs de zéro
à + w. D'ailleurs, chacune des intégrales f° >) est moindre en valeur
(29) Name =};
+ œ I Pine absolue que te" dt = =. Nous pouvons donc écrire
w étant compris entre — 7; et + r.
Si » est un nombre très grand, —— est très petit, et, en prenant pour 2n valeur approchée de T(7 + t)
T(n+i)=nre-n V2nr,
l'erreur relative est très petite, quoique l'erreur absolue puisse être considérable. En prenant les logarithmes des deux membres de la formule (29 }, on a aussi |
(3a) logr(n +1 = (r +2) logn—n+ = log(2r)+e,
€ étant très petit, lorsque n est très grand. En négligeant &, on a ce qu'on appelle la valeur asymptotique de logT(n +1). Cette formule est inté-
ressante, parce qu'elle nous a fait connaître l’ordre de grandeur d’une factorielle.
1. Calctler les intégrales indéfinies des fonctions suivantes :
1 1 D gi 32 > t+Vi+x (æ*+ 1)2? PCA LT) (æ?+ 1) k 1— x
I QE A VA one eo #2 1 T
PERRY | D 79 US CN 1+ Tr + 1+a 1—ÿ1+x Var +ÿr+i+yæ(x +1) cos? x
TeTCosx, » æWarctangæ,
Va a= æ'r+2 ou Fe est un nombre ractionnaire — «+
2. Déterminer le polynome le plus général du cinquième degré P(æ}, tel que l'intégrale P(x)dx ) 2(xt+ 1)?
soit une fonction rationnelle.
h x Le En . TT À + gs PAR Li SE Us % C4 q | * - u F Te ce RU Penn .
VE | Mn 2 “à E D. Re LA ? « RES 292 CHAPITRE V. — CALCUL DES INTÉGRALES DÉFINIES. D. 8. Calculer l'intégrale f y dx,æet y étant liés par lune des relations : (—a}—ap(iy+3=0, y'a—z)=2; À y(æ?+ y?) = a(y?— x?), æi+ yi— Saxy = 0.
“Se 4. Établir les formules
, sin? COST [sine COS(n +1)r dx = —— + C0,
n \ : "… Sing sinnr fsivrx sin(n +—1)x dx = s: + CO, cos?x sinnx , foosr-1æ cos(n + 1)x de = A + CO, : cos COSAT ; fovsræ sin(n +1)x dr =— ee Me (EuLER.) 3. Calculer les intégrales pseudo-elliptiques FL 9 Bu (1+ 2?) dx * 1(1— 2?) d& il i
=) (Gi 2) Vi + æt (+a)Vi+ xt
6, Ramener aux intégrales elliptiques les intégrales f R(r) dr Vaceoréreat) era [ rR(gdar | & RE EN EEE NET |
où R(x) désigne une AT OR SE
LS
7. La rectification des courbes y = Axk& conduit à des intégrales À différentielles binomes. ee d’intégrabilité. de
