Calculer l'intégrale définie f 1% (a+ 1) Vi x

18. L'aire d’un secteur elliptique compris entre l’axe focal et un rayon vecteur issu du foyer a pour expression

= PIERRE 2), Mise cos w)

er. pie Le : ; p désignant le paramètre me l’excentricité. En posant suivant la mé-

u, on trouve

La c) .

thode générale tang— = t, puis { — /

| u À = ablarctangu=e RE A Démontrer que cette expression peut aussi s’écrire ab :

À = nn €: ac sin),

# désignant l’anomalie excentrique,

19. Étant donnée une courbe plane C, soient M un point de cette courbe, Net T les points d’intersection de la normale et de la tangente en M avec la perpendiculaire élevée en un point fixe O au rayon vecteur OM. Trouver les courbes telles que la longueur NT ou l'aire du triangle MNT soit constante; construire les deux branches de la courbe.

2+1 90. Soit À,, — ——— — (1 — 3°)" cos 3 dz.

Démontrer la loi de récurrence dA»

Ann =(2n +1)A,— DT

On déduit de là Les formules

A2p= Up Sinx + V:,cos+, Aop+1 = Uop+1 Sin? + Vip COSX,

Où Up, Vops Urp+1, Vap+1 Sont des polynomes à coefficients entiers, U;», Uzp+1 ne renfermant que les puissances paires de +. On vérifie que la loi

est vraie pour 7 —1, et l’on en déduit qu’elle est générale au moyen de la formule de récurrence. |

Cette expression de A:, permet de démontrer que r? est incommensu-

ke DAT b T ë

rable. Si l’on avait — — —, en remplaçant x par — dans A2,, on aurait 4 a L 2 où

‘D UE Hi = 212. ar CS [ (1— 32)?P cos — dz,

H, étant un nombre entier. Une telle égalité est impossible, car le second membre tend vers zéro lorsque p augmente indéfiniment,

une relation de la forme