I. — PROCÉDÉS DE CALCUL
seule quadrature. Cette remarque bien simple conduit à une formule importante, appelée formule de Green.
Considérons d’abord une intégrale double [far dr,
étendue à la portion du plan, limitée par un contour C tel que celui de la figure 20, composé de deux segments de droites AA, BB’ parallèles à Oy et de deux ares Am,B, A’mB'. Une parallèle à Oy comprise entre AA’ et BB’ rencontre les arcs Am, B et A/m,B' en deux points m, et m2; d’ordonnées y, et y2. L’intéerale double a pour expression, en intégrant d’abord par rapport
NZ [F5 ie =f af 5 ee ne [P(æ, 2) — P(x, y1)] dx.
b b Mais les deux intégrales 4e Ta) dr: vi P(x, y2) dx sont
précisément des intégrales curvilignes prises respectivement le long des arcs An, B et A’m:B'. Comme les intégrales curvilignes P dx, | P dx sont nulles, nous pouvons écrire la formule pré- AA’ BB cédente
(13) he, Ra.
l'intégrale curviligne étant prise le long du contour C dans le sens direct, si les axes ont la disposition de la figure. Pour étendre la formule à une aire limitée par un contour de forme quelconque, on procède comme plus haut (n° 96) en partageant celte aire en plusieurs autres par des transversales, de façon que le contour de chacune des aires partielles satisfasse à la condition précédente, et appliquant la formule à chacune d'elles. On établit de même la formule
(4) [fax ar = f dy,
l'intégrale curviligne étant toujours prise dans le même sens. En retranchant les égalités (13) et (14), il vient
(15) F par+Q@ = ff se dx dy,
l'intégrale double étant étendue à Paire limitée par G. C’est la“ formule de Green, qui a d'importantes applications. En posant Q= 2x, P—— y, on retrouve la formule obtenue plus haut (n°96)
qui exprime l'aire d’une courbe fermée par une intégraie CUrvI-. ligne.
En désignant par *', 8’ les angles de la normale intérieure avec les axes (voir n° 96), on peut encore écrire la formule de Green, en remplaçant Q par — Q “0
(159 [f(+5) dx dy + [ (P c058"+ Q cosa') ds = o. AT C |
Gette formule est indépendante de Ja disposition des axes Ox, Oy. La. formule (15) s'applique aussi, quelle que soit cette disposition, pourvu qu'on définisse le sens direct de parcours d'un contour fermé comme plus. haut (note de la page 228). 1
Remarque. — Remplaçons P par un produit de deux facteurs we dans la formule (13); il vient De
dv ou an + [ frSard ee (Re VAS 0y és y 2 (C)
el par suite
de ou u — dx dy =— war [ [ed à £ JE ABS LÉe Va GK AtIRES
On trouverail de même for y à d MP.
dr VU of [us æ dy.
L’analogie avec la formule d'intégration par parties est évidente.
