I. — PROCÉDÉS DE CALCUL. JT

Désignons par (1), (2), (3), (4) les intégrales doubles étendues aux domaines désignés par les mêmes chiffres sur la figure. On a

FX + 2, Y+£Æ) = (1) + (2) +(3) +(4), F(X+h,Y)=(1)+(3),, F(æ&, Y+4)=(1)+(2),

et, par suite , >]

F(X+A Y+£k)—F(X,Y+k)—F(X+h,Y)+F(X, Y) AA hk DRE

0X 0Y tendent vers zéro (n° 22). D'autre part, si l’on applique la formule de la moyenne à l'intégrale double (4), il vient (4) = hkkf(X+0h, Y +6'k). En faisant tendre X et Æ vers zéro, on obtient précisément la formule (9).

le rapport dans le premier membre a pour limite lorsque À et

L'intégrale F(X, Y) de l'équation (9) est nulle tout le long de AB. Il en est de même de ses deux dérivées partielles du premier ordre; on voit en effet immédiatement sur la figure que, si le point M est sur AB, à un accroissement À de X correspond un accroissement infiniment petit du second ordre de F(X, Y). |

La formule (12) est analogue à la formule fondamentale (8) (voir n° 78).

La formule suivante offre aussi une certaine analogie avec la formule: d'intégration par parties.

Soit À une région finie du plan, limitée par une ou plusieurs courbes de forme quelconque. Une fonction f(x, y), continue dans À, varie entre un minimum #, et un maximum V. Imaginons qu'on ait tracé les courbes de niveau f(x, y) = ?, où v est compris entre #, et V, et supposons qu’on puisse trouver l’aire de la portion de À pour laquelle f(x, y) est compris entre #, et ». Gette aire est une fonction F(v) qui croît avec », et l'aire comprise entre deux courbes de niveau infiniment voisines est égale

” 2 + eg H En MT EEE NE 312 CHAPITRE VI. — INTÉGRALES DOUBLES.

à F(e + Ap)— F(e) = 4v F'(v +0 40). Si l'on décompose cette aire en parties infiniment petites par des lignes joignant les deux courbes de niveau voisines, on peut prendre dans chacune de ces parties un point (£, n), tel qu’on ait f(E, n) = v + 0 Av, et la somme des éléments de l'intégrale

double J dx dy, provenant de cette région, a pour expression (po + 0 Av) F'(p + 0 Av) Apr.

L'intégrale double est donc égale à la limite de Ep + 0 Av) F'(e + 8 Ap) A»,

c'est-à-dire à l'intégrale simple .

le FC) de = VF(V)— f F(v) de.

e Vo

Cette méthode est surtout commode lorsque le champ d'intégration est limité par deux courbes de niveau

J(2,9) = #0: DERATE

CRT:

Soit, par exemple, à évaluer l'intégrale double Ver de 1) ,

étendue à l’intérieur du cercle x?+y2=1 Si nous posons p = yi+a?+ y, le champ d'intégration est limité par les deux courbes de niveaup=1, -

e — ÿ2, et la fonction F(v), qui est l’aire d’un cercle de rayon ÿo2—1, est égale à r(v?— 1). L'intégrale double est donc égale à

v2 2 4 ent do (2/31) (1)

La formule précédente s'étend aisément aux intégrales doubles

{fe netx, y) dx dy, k {

en désignant par F(+) l'intégrale double ff gCx; 7 ) dx dy, étendue à la Ée 4

portion du champ d'intégration limitée par la courbe de niveau p = f(, y)

193. Formule de Green. — Si la fonction FU y) est la dérivée 4 parüelle, par rapport à æ ou à y, d’une fonction connue, uue des intégralions s'effectue immédiatement et l’on est ramené à une -

(7) On trouvera de nombreuses applications de cette méthode dans un Mémoire de M, Catalan (Journal de Liouville, 17° série, t. IV, p. 233).