PMU LT), EE LEUR

définissent une certaine correspondance entre les points de ces deux plans. Nous supposerons : 1° que ces fonctions f(u, v), o(u, v) sont continues et admettent des dérivées partielles continues, lorsque le point (u, ») décrit une portion À, du plan (u, e) limitée par un contour G,; 2° que les formules (16) font correspondre à la portion A, du plan (w, #) une portion À du plan (æ, y), limitée par un contour C, et qu'il y a correspondance univoque entre les points des deux aires et des deux contours, de façon qu’à un point de À ne correspond qu'un point de À; :

D(f, +) D(u, ») signe à l’intérieur de C, (il peut d’ailleurs s’annuler en certains points de À, ).

Il peut encore se présenter deux cas. Lorsque le point (u,v)

39 que le déterminant fonctionnel À — ne change pas de 8e P

décrit le contour C, dans le sens direct, le point (+, y) décrit le contour C en marchant toujours dans le même sens, qui peut être le sens direct ou le sens inverse. Nous dirons, suivant les cas, que la correspondance est directe ou inverse. | Cela posé, l'aire Q de la portion À du plan a‘pour expression

= æ AY, (C) l'intégrale étant prise le long du contour C dans le sens direct. Si l’on emploie le changement de variables défini par les formules (16), on a encore EE os f(u,v)de(u, v ),

(C1) la nouvelle intégrale étant prise le long de C, dans le sens direct ; on doit prendre le signe + ou le signe —, suivant que la correspondance est directe ou inverse. Appliquons à cette nouvelle inté-

A grale la formule de Green, en posant u — x, Da = fe

Q LR ce qui nous donne (voër plus loin Exercice 15, p. 355)

2Q Aube EE) CAT + Dire el 1l vient

D( f, ©) I (u, v) dou, » il ———" du dy ( 73 Jo / ox ) A DCE v) 1

ou encore, en appliquant à l'intégrale double le théorème de la

moyenne,

D(f, +) 5 YO ie (7) à D(E,n)

te n) étant les coordonnées d’un point intérieur à GC, et Q, l'aire de la portion A, du plan (u, 6). On voit d’abord qu'on doit prendre le signe + ou le signe — devant le second membre, suivant que À est lui-même positif ou négatif. Par suite, {a correspondance est directe ou inverse, suivant que À est positif ou négatif (cf Exercices 13 et 14, D'ALDTSS

La formule (17') établit une analogie de plus entre les déterminants fonctionnels et les dérivées. Imaginons, en effet, que la poron À, du plan diminue indéfiniment dans tous les sens, tous les points tendant vers un point déterminé (u, »). Il en sera de même de À, et le rapport des aires Q, Q, à pour limite la valeur absolue du déterminant A: de même que la dérivée est la limite du rapport de deux éléments linéaires, A est la limite du rapport de deux éléments superficiels. La formule (17!) est, à ce point de vue-là, l’'analogue de la formule des accroissements finis.

Remarques. — Les hypothèses que nous avons faites sur la correspondance entre A et A; ne sont pas toutes indépendantes. Ainsi, pour que Ja Correspondance soit univoque, il est nécessaire que À ne change pas de signe dans la portion A, du plan (u, »). Supposons, en effet, que A soit nul tout le long d’une courbe Y1, Séparant la région de A, où À est positif de la région où A est négatif. Prenons un petit arc min de y1 et une région très petite de À, renfermant l'arc min; elle se décompose en deux régions à; et a! ayant 717, pour ligne de séparation ( /L£: 40

Lorsque le point (u, ») décrit l’aire &, où A est positif, le point (x, y) décrit une aire a, de contour minpm, et les deux contours Mi 1 Pi, mnpIn Sont parcourus en même temps dans le sens direct. Lorsque le point (u, #) décrit l’aire 4j, où À est négatif, le point (æ, y) décrit une